Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto\displaystyle \frac{4x}{(x+1)^2}$ mit Definitionsmenge $D_f=\mathrm{R}\setminus{\{-1\}}$ .

Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen $G_f$ von $f$ im I. Quadranten.

$\quad\quad$

(3 BE)

Begründen Sie, dass $x=0$ die einzige Nullstelle von $f$ ist. Geben Sie die Gleichung der senkrechten Asymptote von $G_f$ an und begründen Sie anhand des Funktionsterms von $f$ , dass $G_f$ die Gerade mit der Gleichung $y=0$ als waagrechte Asymptote besitzt.

(5 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunktes von $G_f$ .

(4 BE)

Begründen Sie, dass $G_f$ für $x<0$ nur im III. Quadranten verläuft, und zeichnen Sie in die Abbildung den darin fehlenden Teil von $G_f$ ein. Berechnen Sie dazu $f(-3)$ und drei weitere geeignete Funktionswerte von $f$ .

(3 BE)

Gegeben ist ferner die in $]-1;+\infty[$ definierte Funktion

F:x\mapsto4\cdot \ln(x+1)+\displaystyle \frac{4}{x+1}

Zeigen Sie, dass $F$ für $x>-1$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

Ein Pharmaunternehmen führt eine Studie zur Wirksamkeit und Verträglichkeit eines neu entwickelten Medikaments durch. Wenn das Medikament einmalig in der Form einer Tablette eingenommen wird, kann die zeitliche Entwicklung des Wirkstoffes im Blut des Patienten modellhaft durch die betrachtete Funktion $f$ für $x\in[0;9]$ beschrieben werden. Dabei steht $x$ für die Zeit in Stunden seit der Einnahme der Tablette und $f(x)$ für die Konzentration des Wirkstoffes im Blut des Patienten (im Weiteren kurz als Wirkstoffkonzentration bezeichnet) in Milligramm pro Liter $(\frac{mg}{l})$ .

Die folgenden Aufgaben e bis i sollen auf der Grundlage dieses Modells bearbeitet werden.

(2 BE)

Berechnen Sie die Wirkstoffkonzentration 30 Minuten nach Einnahme der Tablette und geben Sie die maximal auftretende Wirkstoffkonzentration an.

(3 BE)

An der Stelle $x=2$ hat $G_f$ einen Wendepunkt. Beschreiben Sie, wie man rechnerisch vorgehen könnte, um dies zu begründen. Geben Sie die Bedeutung der x-Koordinate des Wendepunkts im Sachzusammenhang an.

In der Pharmakologie wird das in positive x-Richtung unbegrenzte Flächenstück, das sich im I. Quadranten zwischen $G_f$ und der x-Achse befindet, als AUC ("area under the curve") bezeichnet. Nur dann, wenn diesem Flächenstück ein endlicher Flächeninhalt zugeordnet werden kann, kann die betrachtete Funktion $f$ die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration auch für große Zeitwerte $x$ realistisch beschreiben.

(4 BE)

Die x-Achse, $G_f$ und die Gerade $x=b$ mit $b\in\mathrm{R}^+$ schließen im I. Quadranten ein Flächenstück mit dem Inhalt $A(b)$ ein. Bestimmen Sie mithilfe der in Aufgabe $d$ angegebenen Stammfunktion $F$ einen Term für $A(b)$ und beurteilen Sie unter Verwendung dieses Terms, ob die Funktion $f$ auch für große Zeitwerte eine realistische Modellierung der zeitlichen Entwicklung der Wirkstoffkonzentration darstellt.

Das Medikament zeigt die gewünschte Wirkung erst ab einer bestimmten Wirkstoffkonzentration. Daher soll der Patient nach der ersten Tablette des Medikaments eine zweite identisch wirkende Tablette einnehmen, noch bevor die Konzentration des Wirkstoffs im Blut unter $0{,}75\frac{mg}{l}$ fällt. Nach der Einnahme der zweiten Tablette erhöht sich die Wirkstoffkonzentration um die durch diese Tablette verursachte Konzentration des Wirkstoffs im Blut.

(4 BE)

Ermitteln Sie durch Rechnung den spätesten Zeitpunkt, zu dem die zweite Tablette eingenommen werden soll.

(3 BE)

Wird die zweite Tablette zweieinhalb Stunden nach der ersten Tablette eingenommen, so kann die Wirkstoffkonzentration für $x\in [2{,}5;9]$ mit einem der folgenden Terme beschrieben werden. Wählen Sie den passenden Term aus und begründen Sie Ihre Wahl.

$\quad(A)\quad f(x)+f(x+2{,}5)$

$\quad(B) \quad f(x)+f(x-2{,}5)$

$\quad(C)\quad f(x-2{,}5)+f(2{,}5)$

$\quad (D) \quad f(x)-f(x-2{,}5)$

Verabreicht man das Medikament nicht in der Form von Tabletten, sondern mittels einer Dauerinfusion, so wird der Wirkstoff langsam und kontinuierlich zugeführt. Die in $\mathrm{R}$ definierte Funktion $k:x\mapsto \displaystyle \frac{3\cdot e^{2x}}{e^{2x}+1}-1{,}5$ beschreibt für $x\geq0$ modellhaft die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration während einer Dauerinfusion. Dabei ist $x$ die seit Anlegen der Dauerinfusion vergangene Zeit in Stunden und $k(x)$ die Wirkstoffkonzentration in $\frac{mg}{l}$ .

(4 BE)

Begründen Sie, dass der Graph von $k$ streng monoton steigend ist.

(zur Kontrolle: $\quad k'(x)=\frac{6 e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}$ )

(5 BE)

Bei Dauerinfusion dieses Medikaments muss die Wirkstoffkonzentration spätestens 60 Minuten nach Beginn der Infusion dauerhaft größer als $0{,}75\frac{mg}{l}$ sein und stets mindestens 25% unter der gesundheitsschädlichen Grenze von $2\frac{mg}{l}$ liegen. Ermitteln Sie $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}k(x)$ und beurteilen Sie beispielsweise unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, ob gemäß der Modellierung diese beiden Bedingungen erfüllt sind.