2.0

Die Skizze unten zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas $ABCDEFGH$, dessen Grundflächedie Raute $ABCD$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist. Die Strecken $[EG]$ und $[FH]$ schneiden sich im Punkt $N$.

Es gilt: $\overline{AC}=10 \ \text{cm};\;\overline{BD}=6\ \text{cm};\;\overline{AE}=10\ \text{cm}.$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach demKomma.

2.1

Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$, wobei die Strecke $[AC]$ auf derSchrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\frac12;\;\omega=45^\circ.$

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[ME]$ und das Maß $\varphi$ des Winkels $MEN$ .

[Ergebnisse: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\overline{ME}=11{,}18\ \text{cm};\;\varphi=63{,}43^\circ\end{array}$]

2.2

Punkte $S_n$ liegen auf der Strecke $[ME]$ mit $\overline{ES}_n(x)=x\ \text{cm},\;x\in\lbrack0;11{,}18\lbrack\;\text{und}\;x\in\mathbb{R}.$

Zeichnen Sie das Dreieck $S_1GE$ für $x=3$ in das Schrägbild zu 2.1 ein. Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks $S_1GE$ und die Länge der Strecke $\lbrack S_1G\rbrack$.

2.3

Die Punkte $S_n$ sind Spitzen von Pyramiden $ABCDS_n$ mit der Grundfläche $ABCD$ und den Höhen $[Q_nS_n]$. Dabei liegen die Punkte $Q_n$ auf der Strecke [$AM$]. Zeichnen Sie die Pyramide $ABCDS_2$ sowie ihre Höhe [$Q_2S_2$] in das Schrägbildzu 2.1 ein. Dabei gilt: $\sphericalangle MAS_2=54^\circ$.

Zeigen Sie, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $ABCDS_n$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $V(x)=(100-8{,}9x)\ \text{cm}^3$

[Teilergebnis: $\overline{Q_nS_n}(x)=(10-0{,}89x)\ \text{cm}$]

2.4

Berechnen Sie das Volumen der Pyramide $ABCDS_2$ .

2.5

Begründen Sie, dass es keine Pyramide $ABCDS_n$ gibt, deren Volumen halb so groß wie das Volumen des Prismas $ABCDEFGH$ ist.