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1.0

Die Parabel pp verläuft durch die Punkte P(219)P(-2\vert19) und Q(45)Q(4\vert-5). Sie hat eine Gleichung der Form y=0,5x2+bx+cy=0{,}5x^2+bx+c mit G=R\mathbb{G}=\mathbb{R} ×\times R\mathbb{R} und b,cRb,c\in\mathbb{R}.

Die Gerade g besitzt die Gleichung y=0,5x2y=0{,}5x-2 mit

G=R\mathbb{G}=\mathbb{R} ×\times R\mathbb{R}.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

1.1

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für bb und cc, dass die Parabel pp die Gleichung y=0,5x25x+7y=0{,}5x^2-5x+7 besitzt. Zeichnen Sie die Parabel pp und die Gerade gg für xx\in [0;10][0;10] in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 11 cm: 0x10;  6y80\leqslant x\leqslant10;\;-6\leqslant y\leqslant8

1.2

Punkte An(x0,5x25x+7)A_n(x\vert0{,}5x^2-5x+7)auf der Parabel pp und Punkte Cn(x0,5x2)C_n(x\vert0{,}5x-2) auf der Gerade gg besitzen dieselbe Abszisse xx. Diese Punkte bilden zusammen mit Punkten BnB_nund DnD_n Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n , wobei gilt:

BnDn=2\overline{B_nD_n}=2 LE und yCny_{C_n} >> yAny_{A_n}.

Zeichnen Sie die Rauten A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=3x=3 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=6x=6 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

1.3

Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von xx es Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt. Geben Sie das Intervall für xx an.

1.4

Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [AnCn]\lbrack A_nC_n\rbrack in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: AnCn(x)=(0,5x2+5,5x9)\overline{A_nC_n}(x)=(-0{,}5x^2+5{,}5x-9) LE.

Berechnen Sie sodann das Maß φ\varphi des Winkels D2C2B2D_2C_2B_2 und die Seitenlänge A2B2\overline{A_2B_2} der Raute A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2.

1.5

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte BnB_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n .

1.6

Begründen Sie rechnerisch, dass der Flächeninhalt AA der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n stets kleiner als 77 FE ist.