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Normale

Normale

Die Normale ist eine Gerade, die in einem bestimmten Punkt senkrecht auf einem Funktionsgraphen oder einer geometrischen Figur steht.

Sie schneidet die Tangente im entsprechenden Punkt unter einem 9090^\circ-Winkel.

Normalenformel

Die Normale gg ist damit gegeben durch eine lineare Funktion und kann mithilfe der Normalenformel aufgestellt werden:

Bestimmen der Normalensteigung mnm_n

Ausgehend von einer Tangente (oder allgemein einer Geraden) ist es zu deren Normalen nicht weit. Da diese beiden Geraden senkrecht aufeinander stehen, erfüllen ihre Steigungen mtm_t und mnm_n folgende Gleichung:

und damit lässt sich mnm_n berechnen mithilfe:

 

Beispiele zur Bestimmung von mnm_n

Steigung der Tangente mtm_t

Steigung der Normale mnm_n

3\phantom{-}3

13-\frac{1}{3}

7-7

17\phantom{-}\frac{1}{7}

12\phantom{-}\dfrac{1}{2}

2-2

52-\frac{5}{2}

25\phantom{-}\dfrac{2}{5}

Normalengleichung aufstellen

Setzt man die Steigung mnm_n in die allgemeine Geradengleichung ein, besitzt die Normale die Form:

Hier steht bb für den y-Achsenabschnitt der Normale. Diesen können wir berechnen, indem für xx und g(x)g\left(x\right) die Koordinaten eines Punktes P(xy)P\left(x|y\right) eingesetzt werden.

Beispiel zur Berechnung des y-Achsenabschnittes bb

Eine Normale habe die Steigung mn=2m_n=-2 und verlaufe durch den Punkt P(34)P(-3|-4). Wir berechnen deren y-Achsenabschnitt. Dieser Ablauf ist für die Berechnung des y-Achsenabschnittes immer gleich und lässt sich ganz allgemein anwenden.

Allgemeines Rezept

Beispiel

Geradengleichung hinschreiben.

g(x)=mx+bg(x)=mx+b \\ g(x)=2x+bg(x)=-2x+b

Koordinaten des Punktes einsetzen.

4=(2)(3)+b-4=(-2)\cdot(-3)+b \\ 4=6+b\phantom{-4}=6+b

Nach bb umstellen.

10=b-10=b

bb in die Geradengleichung einsetzen.

g(x)=2x10g(x)=-2x-10

Die Normale wird durch den Funktionsterm g(x)=2x10g(x)=-2x-10 beschrieben.

Normalenformel

Das Aufstellen der Normalengleichung ist genauso systematisch wie das Bestimmen einer Tangente und kann mit der Formel

vorgenommen werden.

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