Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S(5|-4{,}5)$ hat eine Gleichung der Form $y=0{,}1\textrm{x}²+b\textrm{x}+c$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};b,c\in\mathbb{R})$ . Die Gerade $g$ hat die Gleichung $\textrm{y}=-0{,}5\textrm{x}+1(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt:
  $\textrm{y}=0{,}1\textrm{x}²-\textrm{x}-2$ .
  Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ und die Gerade $g$ für $\textrm{x}\in[-4;9]$ in ein Koordinatensystem ein.
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \textrm{cm}; -4\leqq x \leqq9;-6\leqq y\leqq4$
2. Punkte $A_n(\textrm{x}|-0{,}5\textrm{x}+1)$ auf der Geraden $g$ und Punkte
  $B_n(\textrm{x}|0{,}1\textrm{x²}-\textrm{x}-2)$ auf der Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $\textrm{x}$ und sind zusammen mit Punkten $C_n$ und $D_n$ Eckpunkte von Trapezen $A_nB_nC_nD_n$ .
  Es gilt: $[A_nB_n]||[C_nD_n] ;\overrightarrow{A_nD_n} =\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} ;\overline{C_nD_n}=5\;\textrm{LE}$ .
  Zeichnen Sie die Trapeze $A_1B_1C_1D_1$ für $\textrm{x}=-1$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=4$ in das Koordinatensystem zu a) ein.
3. Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von $x$ es Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ gibt.
4. Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von $\textrm{x}$ . Bestimmen Sie sodann den maximalen Flächeninhalt $A_{max}$ der Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ und geben Sie den zugehörigen Wert für $x$ an.
  $[ \text{Zwischenergebnis:} ~ \overline{A_nB_n}(\textrm{x})=(-0{,}1\textrm{x}²+0{,}5\textrm{x}+3)\;\text{LE}]$
5. Der Punkt $D_3$ des Trapezes $A_3B_3C_3D_3$ liegt auf der y-Achse.
  Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten des Punktes $B_3$ .
6. Die kongruenten Trapeze $A_4B_4C_4D_4$ und $A_5B_5C_5D_5$ sind gleichschenklig. Zeigen Sie, dass die Strecken $[A_4B_4]$ und $[A_5B_5]$ jeweils $3\;\text{LE}$ lang sind. Berechnen Sie sodann das Maß $\gamma$ der Winkel $D_4C_4B_4$ bzw. $D_5C_5B_5$ .
2
Nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck $ABCDE$ , das aus dem Drachenviereck $ABCD$ mit der Symmetrieachse $AC$ und dem Dreieck $ADE$ besteht. Es gilt: $\overline{AB}=\overline{AD}=11\;\textrm{cm};\measuredangle{BAD}=45°;\measuredangle{CBA}=\measuredangle{ADC}=\measuredangle{BAE}=90°;[AB]||[ED]$ . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Fünfeck $ABCDE$ sowie die Strecken $[AD]$ und $[AC]$ .
2. Begründen Sie, weshalb $\measuredangle{EDC}=135°$ und $\overline{AE}=\overline{ED}$ .
  Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[ED]$ .
  $[$ Teilergebnis: $\overline{ED}=7{,}78\;\textrm{cm}$ $]$
3. Berechnen Sie die Länge der Strecke $[BC]$ und den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Drachenvierecks $ABCD$ am Flächeninhalt des Fünfecks $ABCDE$ .
  $[$ Teilergebnis: $\overline{BC}=4{,}56\;\textrm{cm}$ $]$
4. Auf der Strecke $[AE]$ liegen Punkte $S_n$ , für die gilt: $\overline{ES_n}(\textrm{x})=\textrm{x}\,\textrm{cm}$ mit $\textrm{x}\in\mathbb{R}),\textrm{x}\in]0;7{,}78[$ . Punkte $R_n$ liegen auf dem Kreisbogen $\overset\frown{AD}$ mit dem Mittelpunkt $E$ .
  Ferner gilt: $[S_nR_n]||[ED]$ .
  Zeichnen Sie den Kreisbogen $\overset\frown{AD}$ und die Strecke $[S_1R_1]$ für $\textrm{x}=2$ in die Zeichnung zu Teilaufgabe a) ein.
5. Der Punkt $R_2$ ist der Schnittpunkt des Kreisbogens $\overset\frown{AD}$ mit der Symmetrieachse $AC$ des Drachenvierecks $ABCD$ .
  Ergänzen Sie die Zeichnung zu Teilaufgabe a) um das Dreieck $S_2R_2E$ und berechnen Sie die Länge der Strecke $[S_2R_2]$ .
  $[$ Zwischenergebnis: $\measuredangle R_2AE=\measuredangle ER_2A=67{,}5°]$
6. Die Bogenlänge $b$ des Kreisbogens $\overset\frown{R_3D}$ mit dem Mittelpunkt $E$ beträgt $3\,\textrm{cm}$ . Berechnen Sie das Maß des Winkels $R_3ED$ und den zugehörigen Wert für $\textrm{x}$ .

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