Komplexe Zahlen

Was sind die komplexen Zahlen?

Die Gleichung $x^2+1=0$ hat in den dir bisher bekannten reellen Zahlen keine Lösung. Wenn es allerdings eine Zahl gäbe, die quadriert $-1$ ergeben würde, wäre die Gleichung lösbar. In den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ gibt es eine solche Zahl nicht. Deswegen wird die Zahlenmenge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ eingeführt.

Damit kannst du die obige Gleichung lösen: $x=\pm i$

Beispiele

• $z_1=\ 4+3i$ und $z_2=\frac{1}{2}+\frac{3}{5}i$ sind komplexe Zahlen. Für $a$ und $b$ kannst du also beliebige reelle Zahlen einsetzen und du erhältst eine komplexe Zahl. Für $z_1$ ist der Realteil $4$ und der Imaginärteil $3$. Für $z_2$ ist der Realteil $\frac{1}{2}$ und der Imaginärteil $\frac{3}{5}$.

• Auch $z_3=5i$ ist eine komplexe Zahl. In diesem Fall ist $a=0$ und $b=5$. Also ist $\text{Re}(z_3)=0$ und $\text{Im}(z_3)=5$.

• $z_4=4$ ist eine reelle Zahl, aber auch eine komplexe Zahl. In diesem Fall ist $a=4$ und $b=0$. Also ist $\text{Re}(z_4)=4$ und $\text{Im}(z_4)=0$.

Die reellen Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen

Die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$. Das bedeutet, dass jede reelle Zahl auch eine komplexe Zahl ist, aber nicht jede komplexe Zahl auch eine reelle Zahl ist.

Genauso sind zum Beispiel die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$. Jede natürliche Zahl ist gleichzeitig auch eine reelle Zahl, aber nicht jede reelle Zahl ist auch eine natürliche. Zum Beispiel ist die natürliche Zahl $4$ auch eine reelle Zahl, aber die reelle Zahl $2{,}67$ ist keine natürliche Zahl.

Wichtige Begriffe

Das heißt, man ersetzt das Plus in der Mitte durch ein Minus.

Der Betrag wird auch oft mit dem Buchstaben $r$ bezeichnet.

Mit der konjugiert komplexen Zahl gilt außerdem: $z\cdot\overline{z}=\left|z\right|^2$

Beispiele

Die konjugiert komplexe Zahl von $z_1=3+4i$ erhältst du, indem du das Plus durch ein Minus ersetzt. Also ist die konjugiert komplexe Zahl $\bar{z_1}=3-4i$.

Was ist die konjugiert komplexe Zahl von $z_2=2-i$? Hier steht kein Plus, sondern ein Minus in der Mitte. Allerdings kannst du $z_2$ umschreiben: $z_2=2-i=2+(-i)$. Nun kannst du das Plus durch ein Minus vertauschen, um die konjugiert Komplexe zu bilden: $\bar{z_2}=2-(-i)=2+i$

Zusammenfassend kannst du dir also merken:

Berechne außerdem die Beträge von $z_1, \bar{z_1}$ und $z_2$:

Bei $z_1=3+4i$ ist $a=3$ und $b=4$. Das setzt du in die Formel für den Betrag ein:

$\vert z_1 \vert =\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

Bei $\bar{z_1}=3-4i$ ist $a=3$ und $b=-4$. Der Betrag ist damit:

$\vert \bar{z_1} \vert =\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

Bei $z_2=2-i$ ist $a=2$ und $b=-1$. Der Betrag ist also:

$\vert z_2 \vert =\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen

Beispiele

Addiere $z_1=4-2i$ und $z_2=1+i$. Das Ziel ist es, am Ende wieder eine komplexe Zahl der Form $z=a+ib$ zu erhalten.

Das bedeutet, die Summe von $z_1$ und $z_2$ ergibt wieder eine komplexe Zahl. Das ist das Endergebnis. Du kannst $5-i$ nicht weiter vereinfachen.

Subtrahiere $z_3=1+3i$ von $z_4=6+8i$. Auch hier soll als Endergebnis wieder eine komplexe Zahl in ihrer "normalen", kartesischen Darstellung $z=a+ib$ stehen.

Wichtig bei der Subtraktion ist, dass du die komplexe Zahl, die du abziehst, in Klammern setzt. Dann erhältst du eine Minusklammer, die du durch Umdrehen aller Vorzeichen auflösen kannst.

Multiplikation zweier komplexer Zahlen

Beispiele

Multipliziere $z_1=4-2i$ und $z_2=1+i$. Ziel ist es, am Ende wieder eine komplexe Zahl der Form $z=a+ib$ zu erhalten.

Das ist das Endergebnis. Du kannst $6+2i$ nicht weiter vereinfachen.

Multipliziere $z_3=1+3i$ und $z_4=6+8i$.

Teilen zweier komplexer Zahlen

Beispiele

Teile $z_1=4-2i$ durch $z_2=1+i$.

Ziel ist es, am Ende wieder eine komplexe Zahl der Form $z=a+ib$ zu erhalten. Dafür muss der Bruchstrich, der durch die Teilung entsteht, irgendwie wegkommen.

Das ist das Endergebnis, da du $1-3i$ nicht weiter vereinfachen kannst.

Teile $z_3=1+3i$ durch $z_4=6+8i$.

Das ist das Endergebnis. Du hast eine komplexe Zahl der Form $z=a+ib$ erhalten, mit $a=\frac{3}{10}$ und $b=\frac{1}{10}$.

Darstellung komplexer Zahlen im Koordinatensystem

Der Betrag einer komplexen Zahl lässt sich genauso berechnen, wie die Länge eines Vektors. Du kannst dir eine komplexe Zahl also als zweidimensionalen Vektor vorstellen, der die $x$-Komponente $a$ und die $y$-Koordinate $b$ hat:

Wenn du diesen Vektor in ein Koordinatensystem einzeichnen willst, gehst du $a$ Einheiten entlang der $x$-Achse und anschließend $b$ Einheiten entlang der $y$-Achse.

Analog kann man eine komplexe Zahl in ein Koordinatensystem einzeichnen. Auf der $x$-Achse wird der Realteil aufgetragen. Deswegen wird diese Achse statt mit $x$ nun mit $\text{Re}$ für den Realteil beschriftet. Auf der $y$-Achse wird der Imaginärteil aufgetragen. Deswegen wird diese Achse mit $\text{Im}$ beschriftet. Diese $\left(x,y\right)$-Ebene nennt man die Gaußsche Zahlenebene.

So kann man jede komplexe Zahl in einem fast gewöhnlichen Koordinatensystem als Vektor darstellen.

In diesem Applet kannst du den blauen Punkt verschieben. Er steht für die komplexe Zahl $z$. Wenn du ihn horizontal, also entlang der $x$-Achse verschiebst, ändert sich der Realteil. Wenn du den Punkt vertikal, also entlang der $y$-Achse verschiebst, ändert sich der Imaginärteil.

Du kannst außerdem den Betrag und die konjugiert komplexe Zahl einblenden. Der Betrag hat eine geometrische Bedeutung: Er ist der Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung.