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Kartesisches Produkt

Definition

Definition

Das kartesische Produkt  A  ×  BA\;\times\; B zweier Mengen AA, BB ist definiert als Menge aller geordneten Paare (a,  b)  ,  aA,  bB( a,\; b)\;,\; a\in A,\; b\in B.

Es wird also jedes Element aus AA mit jedem Element aus BB kombiniert. 

Formal ist das kartesische Produkt so definiert:

                 

A×B  =  {  (a,b)      aA,    bB  }A\times B\;=\;\left\{\;(a, b)\;\;\left|\; a\in A,\;\; b\in B\right.\;\right\}

Beispiel

  • Gegeben sind die Mengen A={2,6}A=\{2{,}6\} und B={4,5}B = \{4{,}5\} Das kartesische Produkt der beiden Mengen ist dann: A×B={(2,4),(2,5),(6,4),(6,5)}A \times B = \{ (2{,}4),(2{,}5),(6{,}4),(6{,}5)\}

  • Gegeben sind die Mengen C={2,3,5}C=\{2{,}3,5\} und D={4,7,9}D=\{4{,}7,9\} Das kartesische Produkt der beiden Mengen ist dann: C×D={(2,4),(3,4),(5,4),(2,7),(3,7),(5,7),(2,9),(3,9),(5,9)}C \times D= \{(2{,}4),(3{,}4),(5{,}4),(2{,}7),(3{,}7),(5{,}7),(2{,}9),(3{,}9),(5{,}9)\}

            

Eigenschaften

Zahl der Elemente

Sei A\left|\mathrm A\right| die Anzahl der Elemente in AA und B\left|\mathrm{B}\right| die Anzahl der Elemente in BB, dann gilt:

               

A×B=  AB\left| A\times B\right|=\;\left| A\right|\cdot\left| B\right|

Es gilt keine Kommutativität oder Assoziativität.

Leere Menge

Das kartesische Produkt einer Menge mit der leeren Menge ergibt wieder die leere Menge, da aus der leeren Menge kein Objekt ausgewählt werden kann, um dieses mit einem Element aus der Menge A zu kombinieren. Es gilt:

A×B=A=B=A\times B = \emptyset \Leftrightarrow A= \emptyset \vee B = \emptyset

Die Umkehrung gilt also genauso: Ist das kartesische Produkt die leere Menge, so muss mindestens eine der beiden Ausgangsmengen die leere Menge gewesen sein.

Relationen

Seien MM Mengen, so ist jede Teilmenge RR von M×MM\times M eine Relation.

  • Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

  • Eine Relation heißt Ordnungsrelation, falls sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.

  • Eine Relation heißt Funktion, falls zu jedem  xM  genau  ein  yN\mathrm{jedem} \;x\in M\; \mathrm{genau \; ein} \;y\in N gibt.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zum kartesischen Produkt von Mengen


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