Ebene aus einer Geraden und einem Punkt

Anhand eines Punktes $A=(a_1|a_2|a_3)$ und einer Geraden

\displaystyle g:~\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} c\\e\\f \end{pmatrix}

lässt sich eine eindeutige Ebene konstruieren, die beide Objekte enthält.

Hierzu werden aus der Geraden zwei Punkte $B,\ C$ entnommen und mit $A$ zusammen die Parameterform der Ebene aufgestellt:

\displaystyle g:~\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} c\\e\\f \end{pmatrix}

Gleichung und Konstruktion

Aus einem Punkt und einer Geraden lassen sich schnell drei Punkte erstellen. Ein Punkt ist uns schon durch $A$ gegeben. Die anderen beiden wählen wir uns aus der Geraden. Hier können wir uns jeden Punkt heraussuchen, doch üblich ist es erst für $s=0$ und dann für $s=1$ einzusetzen, sodass wir die Punkte $B\left( a/ b/ c\right)$ und $C\left( a+ d/ b+ e/ c+ f\right)$ erhalten.

Ab hier kann man bei der Herleitung der Ebenengleichung und der Konstruktion wie bei Ebene aus drei Punkten fortfahren.

Beispielaufgabe

Gegeben: $A\left(1/2/3\right)\;\;\;\;\; t:\;\overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}+ s\cdot\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}$

Rechnung	Beschreibung
$B\left(4/5/6\right)$ $\\$ $C\left(11/13/15\right)$	Um $3$ Punkte zu erhalten setzt man zuerst $s=0$ und dann $s=1$ und erhält so die Punkte $B$ und $C$ .
$\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix};~\overrightarrow{{AC}}=\begin{pmatrix}10\\11\\12\end{pmatrix}$	Da die Ebenengleichung die Form $\\$ $\overrightarrow{ x}=\overrightarrow{{OA}}+\lambda\overrightarrow{\cdot{AB}}+\mu\overrightarrow{\cdot{AC}}$ $\\$ hat, benötigen wir die Vektoren $\overrightarrow{{AB}}$ und $\overrightarrow{{AC}}$ .
$E: \overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}10\\11\\12\end{pmatrix}$	Nun stellen wir die Ebenengleichung mit der Form $\\$ $E: \overrightarrow{ x}=\overrightarrow{{OA}}+\lambda\overrightarrow{\cdot{AB}}+\mu\overrightarrow{\cdot{AC}}$ $\\$ auf und sind dann fertig.

Übungsaufgaben

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