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Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen (Analytische Geometrie)

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Den Abstand eines Punktes XX zu einer Geraden bestimmt man, indem man das Lot durch den Punkt XX auf die Gerade fällt. Den Schnittpunkt des Lotes und der Geraden bezeichnet man mit SS. Die Länge der Strecke [SX][SX] ist somit genau der Abstand vom Punkt XX und der Geraden.

Berechnung im 3-dimensionalen Fall

Gegeben sind der Punkt P(p1p2p3)P(p_1|p_2|p_3) und die Gerade g:X=a+λbg:\vec X = \vec a + \lambda\cdot \vec b

Formel zur Berechnung des Abstandes:

Beispiel

Berechne den Abstand des Punktes P(321)P(3|2|1) von der Geraden g:  X=(341)+λ(121)g:\;\vec X=\begin{pmatrix}-3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

Man setzt die Werte in die Formel ein:

d\displaystyle d==((321)(341))×(121)(1)2+22+12\displaystyle \dfrac{\left|\left(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\right)\times\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+1^2}}

Berechne die Vektordifferenz und die Summe unter der Wurzel.

==(622)×(121)6\displaystyle \dfrac{\left|\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right|}{\sqrt6}

Berechne das Vektorprodukt.

==(2426122)6\displaystyle \dfrac{\left|\begin{pmatrix} -2-4 \\ -2-6 \\ 12-2\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{6}}

Berechne den Betrag des Vektors.

==(6)2+(8)2+1026\displaystyle \dfrac{\sqrt{(-6)^2+(-8)^2+10^2}}{\sqrt6}

Vereinfache den Zähler.

==2006\displaystyle \dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt6}

Vereinfache.

==103\displaystyle \dfrac{10}{\sqrt3}

Antwort: Der Abstand des Punktes P(321)P(3|2|1) zu der Geraden g g beträgt d=103  LEd=\dfrac{10}{\sqrt3}\;\text{LE}.

Alternative schrittweise Berechnung mit einer Hilfsebene

Gegeben sind der Punkt P(p1p2p3)P(p_1|p_2|p_3) und die Gerade g:X=a+λbg:\vec X = \vec a + \lambda\cdot \vec b

Folgende Schritte werden verwendet, um den Abstand zu bestimmen:

1. Schritt:

Man erstellt eine Hilfsebene in Normalform, die durch den Punkt P(p1p2p3)P(p_1|p_2|p_3) geht und orthogonal zum Richtungsvektor b\vec{b} ist.

2. Schritt:

Wenn man die Ebene in Koordinatenform haben möchte, um die danach folgende Rechnung zu vereinfachen, wandelt man sie in diese um.

3. Schritt:

Nun bestimmt man den Schnittpunkt der Hilfsebene EE mit der Geraden gg. Das ist das Lot des Punktes PP auf die Gerade gg. Man fängt damit an, die beiden Gleichungen zu kombinieren, um λ\lambda auszurechnen.

4. Schritt:

λ\lambda setzt man jetzt in die Geradengleichung ein und erhält den Ortsvektor OS\overrightarrow{OS} des Schnittpunktes (des Lotes).

5. Schritt:

Zum Schluss berechnet man den Abstand der Punkte SS und PP.

Beispiele

Berechne den Abstand des Punktes PP von der Geraden gg mit einer Hilfsebene.

Lösungsweg 1 (Hilfsebene in Koordinatenform)

1. Schritt:

Man erstellt eine Hilfsebene EE, die durch den Punkt P(133)P(1|-3|-3) geht und die zu dem Richtungsvektor b=(131)\vec{b}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} orthogonal ist.

Es gilt b=n\vec{b}=\vec{n}. Deswegen ist die Normalform geeignet.

E:[x(133)](131)=0E:\left[\overset\rightharpoonup x-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=0

2. Schritt:

Die Ebene EE wandelt man in die Koordinatenform um.

[(x1x2x3)(133)](131)=0\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=0

(x11)+3(x2+3)+(x3+3)=0\Rightarrow -(x_1-1)+3\cdot(x_2+3)+(x_3+3)=0

x1+3x2+x3=13\Leftrightarrow -x_1+3x_2+x_3=-13

3. Schritt:

In x1x_1, x2x_2 und x3x_3 kann man jetzt den Vektor X\vec{X} der Geraden einsetzen, um λ\lambda zu bestimmen.

(2λ)+3(1+3λ)+(3+λ)=13-(2-\lambda)+3(1+3\lambda)+(-3+\lambda)=-13

11λ=11\Leftrightarrow11\lambda=-11

λ=1\Leftrightarrow\lambda=-1

4. Schritt:

Man setzt nun λ\lambda in die Geradengleichung gg ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

OS=(213)+(1)(131)=(324)\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}+(-1)\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -4\end{pmatrix}

5. Schritt:

Jetzt berechnet man den Abstand der beiden Punkte P(133)P(1|-3|-3) und S(324)S(3|-2|-4).

d\displaystyle d==(31)2+(2(3))2+(4(3))2\displaystyle \sqrt{(3-1)^2+(-2-(-3))^2+(-4-(-3))^2}

Vereinfache.

==22+12+(1)2\displaystyle \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}

Vereinfache.

==6\displaystyle \sqrt{6}

Antwort: Der Abstand des Punktes P(133)P(1|-3|-3) von der Geraden g g beträgt d=6  LEd=\sqrt{6}\;\text{LE}.

Lösungsweg 2 (Hilfsebene in Normalform)

1. Schritt:

Man erstellt eine Hilfsebene EE, die durch den Punkt P(133)P(1|-3|-3) geht und die zu dem Richtungsvektor b=(131)\vec{b}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} orthogonal ist.

Es gilt b=n\vec{b}=\vec{n}. Deswegen ist die Normalform geeignet.

E:[x(133)](131)=0E:\left[\overset\rightharpoonup x-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=0

Man überspringt Schritt 22, weil schon die richtige Ebenenform gefunden ist.

3. Schritt:

Jetzt sucht man den Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden. Hierfür setzt man X\vec{X} in die Ebene ein:

E:[(213)+(λ(1)λ3λ1)(133)](131)=0E:\left[\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\lambda\cdot(-1)\\\lambda\cdot3\\\lambda\cdot1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=0

Aufgelöst folgt:

1(2λ1)+3(1+3λ+3)3+λ+3=0\Rightarrow -1\cdot(2-\lambda-1)+3\cdot(1+3\lambda+3)-3+\lambda+3 = 0

λ+9λ+λ1+12+0=0\Leftrightarrow \lambda+9\lambda+\lambda-1+12+0=0

λ=1111=1\Leftrightarrow \lambda=-\dfrac{11}{11}=-1

4. Schritt:

λ=1\lambda=-1 setzt man in die Geradengleichung gg ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

OS=(213)+(1)(131)=(324)\overset\rightharpoonup{OS}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}+(-1)\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -4\end{pmatrix}

5. Schritt:

Jetzt berechnet man den Abstand der beiden Punkte P(133)P(1|-3|-3) und S(324)S(3|-2|-4).

d\displaystyle d==(31)2+(2(3))2+(4(3))2\displaystyle \sqrt{(3-1)^2+(-2-(-3))^2+(-4-(-3))^2}

Vereinfache.

==22+12+(1)2\displaystyle \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}

Vereinfache.

==6\displaystyle \sqrt{6}

Antwort: Der Abstand des Punktes P(133)P(1|-3|-3) von der Geraden g g beträgt d=6  LEd=\sqrt{6}\;\text{LE}.

Lösungsweg 3 (Minimierung des Abstandes)

1. Schritt:

Man überlegt sich die allgemeine Form der Koordinaten von Punkten auf der Geraden.

2. Schritt:

Man berechnet den Abstand vom Punkt P(133)P(1|-3|-3) mit den im Schritt 1 1 ausgerechneten Punkten auf der Geraden. Hierfür benutzen wir die Formel zum Berechnen des Abstandes zweiter Punkte und setzen den Punkt PP und die Punkte auf der Geraden mit λ\lambda ein.

3. Schritt:

Wir haben einen klobigen Ausdruck für den Abstand erhalten. Dieser Ausdruck ist immer noch von λ\lambda abhängig. Jedes λ\lambda beschreibt einen Punkt auf der Geraden gg und jeder dieser Punkte hat einen eigenen Abstand.

Jetzt können wir vereinfachen, was unter der Wurzel steht.

4. Schritt:

Der Abstand der Geraden vom Punkt PP ist gerade das Minimum dieser Funktion d(λ)d\left(\lambda\right).

Da Abstände immer positiv sind, können wir auch das Minimum von d2d^2 bestimmen und dann die Wurzel ziehen.

Wir erkennen die Form einer nach oben geöffneten Parabel und können die Formel für den Scheitelpunkt einer Parabel anwenden, um das Minimum von d2d^2 (also die y-Koordinate des Scheitelpunktes) zu berechnen:

Die y-Koordinate ist:

y\displaystyle y==cb24a\displaystyle c-\dfrac{b^2}{4 \cdot a}

Lies aus der Parabelgleichung die Werte für aa, bb und cc ab.

Setze a=11a=11, b=22b=22 und c=17c=17 ein.

==17222411\displaystyle 17-\dfrac{22^2}{4\cdot11}

Vereinfache den Bruch.

==1711\displaystyle 17-11

Vereinfache.

==6\displaystyle 6

Demnach ist dmin2=6d_{min}^2=6 und dmin=6d_{min}=\sqrt{6}

Alternativ kann auch über das Ableiten das Extremum der Funktion vom Abstandsquadrat bestimmt werden.

Berechnung im Zweidimensionalen

Gegeben ist eine Gerade g:    x=:(ab)+λ(cd)\mathbf {g}\boldsymbol{:}\;\;\mathbf {x}\boldsymbol{=}\boldsymbol:\begin{pmatrix}\mathbf a\\\mathbf b\end{pmatrix}\boldsymbol+\mathbf\lambda\begin{pmatrix}\mathbf c\\\mathbf d\end{pmatrix} und ein Punkt P  =(ef)\mathbf P\;\boldsymbol=\begin{pmatrix}\mathbf e\\\mathbf f\end{pmatrix}. Dann lassen sich diese Objekte im Zweidimensionalen ins Dreidimensionale einbetten.

Man schreibt einfach für g:x=(ab0)+λ(cd0)g:\overset\rightharpoonup x=\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}c\\d\\0\end{pmatrix} und P=(ef0)P=\begin{pmatrix}e\\f\\0\end{pmatrix} und rechnet wie im Dreidimensionalen, der Abstand (im Zweidimensionalen) ist dann der ausgerechnete Wert.

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