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Rotationskörper

Bild

Wenn sich eine zweidimensionale Figur (zum Beispiel ein Dreieck, Rechteck, Halbkreis,… ) sehr schnell um eine Achse dreht, entsteht ein räumlicher Körper.

Einen solchen Körper nennt man Rotationskörper.

Beispiel, wie aus einer rotierenden Fläche ein Rotationskörper wird

Eigenschaften eines Rotationskörpers

  • Wenn eine Figur sich um eine Achse dreht, nennt man den daraus entstehenden Körper, einen Rotationskörper. Die Achse, um welche sich die Figur dreht, nennt man Rotationsachse.

  • Ein Rotationskörper besteht aus all denjenigen Punkten, die im Verlauf der Drehung von der rotierenden Fläche erfasst werden.

  • Ein Rotationskörper ist stets zu seiner Rotationsachse symmetrisch.

Axialschnitt eines Rotationskörpers

Schneidet man einen Rotationskörper längs seiner Achse durch, erhält man den Axialschnitt des Körpers.

Wenn du lernen willst, wie man einen Rotationskörper auf das Papier zeichnet, gehe zum Artikel Skizzieren eines Rotationskörpers - Anleitung.

Volumen und Oberfläche eines Rotationskörpers berechnen

Einfache Rotationskörper

Diese sind Körper, die aus der Drehung von Flächen wie Rechtecke, Dreiecke und Kreise entstehen. Wenn man mehrere solche einfache Rotationskörper zusammenstellt, kann man komplexere Figuren darstellen.

Zylinder

Einen Zylinder (oder genauer: einen geraden Kreiszylinder) kann man sich dadurch entstanden denken, dass ein Rechteck um eine seiner Seiten rotiert.

Rotation von einem Rechteck

Wichtige Formeln für den Zylinder:

Volumen:

VZylinder=r2πhV_\text{Zylinder}\boldsymbol= r^2πh

Oberfläche:

OZylinder=2r2π+2rπhO_\text{Zylinder}=2 r^2\pi+2rπh

Mantelfläche:

MZylinder=2rπhM_\text{Zylinder}=2rπh

Kegel

Einen Kegel (oder genauer: einen geraden Kreiskegel) kann man sich dadurch entstanden denken, dass ein rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten rotiert.

Rotation von einem rechtwinkligen Dreieck

Wichtige Formeln für den Kegel:

Volumen:

VKegel=13r2πhV_\text{Kegel}=\frac{1}{3} r^2πh

Oberfläche:

OKegel=r2π+rπsO_\text{Kegel}= r^2\pi+rπs

Mantelfläche:

MKegel=rπsM_\text{Kegel}=rπs

Kugel

Eine Kugel kann man sich dadurch entstanden denken, dass ein Kreis rotiert.

Rotation von einem Kreis

Wichtige Formeln für die Kugel:

Volumen:

VKugel=43r3πV_\text{Kugel}=\frac{4}{3} r^3\pi

Oberfläche:

OKugel=4r2πO_\text{Kugel}=4 r^2\pi

Mantelfläche:

s. Oberfläche

Zusammengesetzte Rotationskörper

Wenn man einfache Flächen, wie einen Kreis, ein Dreieck oder ein Rechteck kombiniert und anschließend dreht, entstehen zusammengesetzte Rotationskörper.

Deren Volumen lässt sich auf folgende Weisen berechnen:

  • Indem man sie in einfache Körper aufteilt und deren Volumen getrennt berechnet, oder

  • mittels Integration.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Rotationskörpern

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