Gemeinsamer Punkt einer Funktionenschar

Hat eine Funktionenschar einen gemeinsamen Punkt, durch den alle Funktionen der Schar laufen, so spricht man von einem Funktionenbündel.

Diesen gemeinsamen Punkt hat eine Funktionenschar immer dann, wenn für ein bestimmtes $x$ der Parameter der Schar wegfällt. Bei diesem $x$ -Wert liegt dann dieser gemeinsame Punkt.

Überprüfung auf gemeinsame Punkte

Eindeutiger Schnittpunkt

Eine Funktionenschar kann einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Dafür muss der Parameter aber für ein $x$ aus dem Funktionsterm wegfallen.

Beispiel

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8339_EEiwmLC8tY.xml

Gegeben sei die Funktionenschar

${ f}_ k\left( x\right)= x^2-{kx}+1$

Hat diese Schar einen gemeinsamen Punkt?

Ja, denn bei $x=0$ fällt der Parameter k weg und es bleibt nur $f_k(0)=1$

Daraus erhält man auch sofort den gemeinsamen Punkt $A(0;1)$ unabhängig von $k$ .

Kein eindeutiger Schnittpunkt

Beispiel

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8341_I9E7UqpPN9.xml

Gegeben sei die Funktionenschar

${ f}_ k\left( x\right)=-\left({kx}\right)^2+ k$

Hat diese Schar einen gemeinsamen Punkt?

Das ist nicht der Fall.

Das nebenstehende Bild zeigt die Funktionsgraphen von $f_k(x)$ für

$k=-2;-1;0;1;2$

Hier sieht man, dass es keinen eindeutigen Schnittpunkt gibt.

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