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Aufgaben zum Trapez

Wiederhole wichtige Grundlagen zum Trapez mit diesen Aufgaben. Hier lernst du, Trapeze zu erkennen, fehlende Seiten und andere Größen zu berechnen.

  1. 1

    Sortiere das Trapez

    Beim Zeichnen des Trapezes ist die Beschriftung durcheinander geraten.

    1. Ordne die Beschriftung richtig zu.

    2. Bild

      Der Flächeninhalt AA vom Trapez wird berechnet. Welche der Formeln ist korrekt?

  2. 2
    Bild

    Augen auf!

    Wie viele "echte" Trapeze (d.h. solche, die keine Parallelogramme sind), erkennst du in der gezeichneten Figur?


  3. 3

    Die beiden parallelen Seiten eines Trapezes werden mit a und c bezeichnet, die Höhe mit h; für seinen Flächeninhalt gilt: A=12(a+c)hA=\frac12\cdot\left(a+c\right)\cdot h.

    Wie ändert sich der Flächeninhalt des Trapezes, wenn die Seite a um eine Längeneinheit verlängert und die Seite c um eine Längeneinheit verkürzt wird?

  4. 4
    Bild

    Vom Trapez zum Parallelogramm und zurück

    Die Figur zeigt ein Trapez ABCDABCD mit der gegebenen Höhe h=3LEh=3\,\text{LE}.

    Welche der folgenden Aussagen treffen dann zu, wenn jeder der Eckpunkte A,B,C,DA,\,B,\,C,\,D längs seiner Grundseite beliebig weit nach links oder rechts verschoben werden kann?

  5. 5

    Winkelberechnungen am Trapez

    1. Im Trapez ABCDABCD gelte ABCDAB\Vert CD, α=32°\alpha=32°, γ=75°\gamma=75°. Berechne β\beta und δ\delta !

    2. Im Trapez ABCDABCD gelte ABCDAB\,\Vert CD, ADBCAD\perp BC, α=20°\alpha=20°. Berechne β,γ,δ\beta,\,\gamma,\,\delta!

    3. Im Trapez ABCDABCD gelte: ADBC,  α=δ=100°AD\,\Vert\,BC,\;\alpha=\delta=100°. Berechne β\beta und γ\gamma!

  6. 6

    Konstruiere ein Trapez ABCDABCD aus der gegebenen Länge der Differenz der beiden Grundseitenlängen ac=3LEa-c=3\,\text{LE}, den Schenkellängen b=BC=2,5LEb=\overline{BC}=2{,}5\,\text{LE} und d=AD=4LEd=\overline{AD}=4\,\text{LE} sowie der Diagonalenlänge f=BD=5LEf=\overline{BD}=5\,\text{LE}.

  7. 7

    Konstruiere ein Trapez ABCDABCD aus den Grundseitenlängen AB=a=5cm\overline{AB}=a=5\,\text{cm} und CD=c=3cm\overline{CD}=c=3\,\text{cm} sowie den Diagonalenlängen AC=6cm\overline{AC}=6\,\text{cm} und BD=5cm\overline{BD}=5\,\text{cm}.

  8. 8

    Konstruiere ein Trapez ABCDABCD aus den Seitenlängen

    a=10,5cm;b=5,4cm;c=6cm;d=4,8cma=10{,}5\,\text{cm};\,b=5{,}4\,\text{cm};\,c=6\,\text{cm};\,d=4{,}8\,\text{cm}.

  9. 9

    Meetingpoints am Trapez

    Wie bei anderen Vierecken sind auch beim Trapez der Schnittpunkt der Diagonalen und der Schwerpunkt von besonderer Bedeutung.

    \quad \quad \quad

    Bild
    Bild

    Im Trapez ABCDABCD mit den Grundseiten aa und cc und der Höhe hh sei EE der Schnittpunkt der Diagonalen und SS der Schwerpunkt des Trapezes.

    Der Schwerpunkt SS eines Trapezes liegt auf der Verbindungstrecke der Mittelpunkte der Grundseiten (Mittenlinie) und hat von der Grundseite den Abstand hS=h3a+2ca+c\displaystyle h_{S}=\frac{h}{3}\cdot \frac{a+2c}{a+c}

    1. Beweise, dass die Mittenlinie eines jeden Trapezes durch den Schnittpunkt der Diagonalen geht.

    2. Begründe, dass der Schwerpunkt SS und der Diagonlenschnittpunkt EE zusammenfallen, wenn das Trapez zu einem Parallelogramm wird.

    3. Bild

      So konstruiert man den Schwerpunkt eines Trapezes:

      1. Zeichne die Mittenlinie [M1M2][M_1M_2] des Trapezes.

      2. Verlängere [DC][DC] über CC hinaus um die Strecke aa zum Endpunkt EE.

      3. Verlängere [AB][AB] über AA hinaus um die Strecke cc zum Endpunkt FF.

      4. Der Schnittpunkt von [FE][FE] mit [M1M2][M_1M_2] ist der Schwerpunkt SS.

      Begründe, warum für c=0c=0 mit dieser Konstruktion der Schwerpunkt eines Dreiecks konstruiert wird.

  10. 10
    ein allgemeines Trapez mit Seitenbeschriftung

    Berechne jeweils die gesuchte Größe im Trapez.

    1. achA4cm8cm5cm?\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c|c}a & c & h & A \\\hline4 \mathrm{cm}& 8\mathrm{cm} & 5\mathrm{cm} & ?\end{array}

      cm²
    2. achA3cm4cm4,5cm?\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c|c}a & c & h & A \\\hline3 \mathrm{cm}& 4\mathrm{cm} & 4{,}5\mathrm{cm} & ?\end{array}

      cm²
    3. achA5dm14cm2dm?\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c|c}a & c & h & A \\\hline5 \mathrm{dm}& 14\mathrm{cm} & 2\mathrm{dm} & ?\end{array}

      dm²
    4. achA6cm4cm?25cm\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c|c}a & c & h & A \\\hline6 \mathrm{cm}& 4\mathrm{cm} & ? & 25 \mathrm{cm}\end{array}

      cm
    5. achA1,5cm3,5cm?11,25cm\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c|c}a & c & h & A \\\hline1{,}5 \mathrm{cm}& 3{,}5\mathrm{cm} & ? & 11{,}25 \mathrm{cm} \end{array}

      cm
    6. achA?4cm5cm30cm\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c|c}a & c & h & A \\\hline? & 4\mathrm{cm} & 5\mathrm{cm} & 30 \mathrm{cm}\end{array}

      cm
  11. 11

    Die Fläche eines Trapezes ist um 40 m240~\text m^2 kleiner als die Fläche eines Rechtecks, das über der größeren Grundlinie errichtet ist und die gleiche Höhe hat.

    1. Wie groß sind die Grundlinien des Trapezes, wenn die eine um 17m17 m, die andere um 7m7 m länger ist als die Höhe?

    2. Wie lang ist die Grundlinie eines Dreiecks, das dem Trapez flächen- und höhengleich ist?

      m

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