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3Arbeiten mit Funktionen - ein Handbuch

Arbeiten mit Funktionen

Funktionen kann man auf unendlich viele Arten und Weisen verändern und bearbeiten. Allerdings sind nur wenige Vorgehensweisen nützlich, wenn konkrete Fragestellungen der Mathematik zu bearbeiten sind.

Diese Übersicht kann dir als Richtlinie dienen, wie du am besten und schnellsten die geforderten Eigenschaften der Funktion überprüfst.

Aufgeführt sind ein paar generelle Aspekte der Kurvendiskussion, die immer wieder auftauchen und manchmal mehr Arbeit erfordern. Für Hilfen zu anderen Aufgaben, wie Symmetrie, klicke bitte auf den jeweiligen Link für mehr Informationen im Artikel.

Die Aufgabenstellung verlangt…

1. …einen Term tt mit 00 gleichzusetzen. Die gesuchte Variable wird hier immer x genannt.

Der Term tt ist eine Summe:

  1. Nur ein xx vorhanden \Rightarrow nach xx auflösen.

  2. In jedem Summanden steht x \Rightarrow Ausklammern der niedrigsten xx-Potenz. Danach die Faktoren einzeln betrachten und jeweils wieder von oben beginnen.

  3. Nur ein x2x^2 und ein xx vorhanden \Rightarrow Mitternachtsformel

  4. Nur ein x2kx^{2k} und ein xkx^k vorhanden \Rightarrow Substitution mit u=xku=x^k; danach Schritt 3 und Resubstitution.

  5. Der Term tt ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Dann Nullstelle raten: die Nullstelle könnte ein Teiler aa der Konstanten des Polynoms sein, deshalb ±1;±a\pm1;\pm a\ldots nacheinander ausprobieren \Rightarrow Polynomdivision durchführen und das Ergebnis weiter untersuchen.

Der Term tt ist ein Produkt:

Betrachte die Faktoren einzeln und beginne jeweils wieder von oben.

Beispiele:

  1. x24=0x2=4x=±2ex3=0ex=3x=ln(3)\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrl}&x^2-4&=0\\\Leftrightarrow&x^2&=4\\\Leftrightarrow&x&=\pm 2\end{array} \begin{array}{lrl}&e^x-3&=0\\\Leftrightarrow &e^x&=3\\\Leftrightarrow& x&=\ln(3)\end{array}

  2. x32x2=0x2(x2)=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lr}&x^3-2x^2=0\\\Leftrightarrow &x^2(x-2)=0 \end{array}

  3. x2x2=0x1;2=1±1+82\def\arraystretch{2} \begin{array}{ll}&x^2-x-2=0\\\Rightarrow &x_{1;2}=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}\end{array}

  4. x6x32=0u=x3u2u2=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcl}&x^6-x^3-2&=&0\\&u=x^3\\\Rightarrow &u^2-u-2&=&0\\\ldots\end{array}

  5. x3x2+2=0x1=1(x3x2+2):(x+1)=x22x+2x22x+2=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}&x^3-x^2+2=0\\\Rightarrow &x_1=-1\\\Rightarrow &(x^3-x^2+2):(x+1)= x^2-2x+2\\\Rightarrow &x^2-2x+2 =0\\\ldots\end{array}

2. … den Definitionsbereich einer Funktion ff zu bestimmen.

  • Der Ausgangsdefinitionsbereich ist, wenn nichts Anderes erwähnt wird, ganz R\mathbb{R}

  • Mögliche Stellen, die für xx nicht zulässig sind, überprüfen:Brüche: Der Nenner darf nicht 00 sein.\Rightarrow Nenner mit 00 gleichsetzen (siehe Abschnitt 11).Die Wurzelfunktion: Der Radikand (Term unter dem Wurzelzeichen) darf nicht negativ sein.\Rightarrow Radikand mit 00 gleichsetzen (siehe Abschnitt 11) und dann durch Einsetzen einer Zahl zwischen den Nullstellen und Definitionslücken des Radikanden überprüfen, wo der Radikand positiv bzw. negativ ist.Die Logarithmusfunktion: Der Term, auf den der Logarithmus angewendet wird, darf nicht 00 oder negativ sein.\Rightarrow Term im Logarithmus mit 00 gleichsetzen (siehe Abschnitt 11) und dann durch Einsetzen einer Zahl zwischen den Nullstellen und Definitionslücken des Terms überprüfen, wo er positiv bzw. negativ ist.

  • Alle ermittelten Problemstellen für xx werden von R\mathbb{R} ausgeschlossen.

Beispiele:

Problem Brüche: f(x)=2xx2f(x)=\dfrac{2x}{x^2}

Der Nenner darf nicht Null sein. Finde also die Nullstellen des Nenners und schließe sie aus dem Definitionsbereich aus:

x2=0x=0Df=R{0}\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} &x^2=0\\\Leftrightarrow &x=0\\\Rightarrow &\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus \{0\}\end{array}

Problem Wurzelfunktionen: f(x)=3xf(x)=\sqrt{3-x}

Der Radikand darf nicht negativ sein.

3x0x3Df=];3]\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} &3-x\ge 0\\\Leftrightarrow &x\le 3\\\Rightarrow &\mathbb{D}_f=]-\infty;3]\end{array}

Problem Logarithmusfunktion: f(x)=ln(4x+2)f(x)=\ln(4x+2)

Der Ausdruck im Logarithmus muss positiv sein.

4x+2>0x>12Df=]12;[\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} &4x+2>0\\\Leftrightarrow &x>-\frac{1}{2}\\\Rightarrow &\mathbb{D}_f=\left]-\frac{1}{2};\infty \right[\end{array}

3. … Grenzwerte einer Funktion ff zu betrachten.

Grenzwerte werden immer dann benötigt, wenn man die Werte der Funktion ff nicht direkt angeben kann. Das ist an allen Grenzen des Definitionsbereichs der Fall. So muss man bei einer Funktion ff mit Definitionsbereich Df=R+([1;2]{4,5})\mathbb{D}_f= \mathbb{R}^+\setminus \left([1;2] \cup \{4{,}5\}\right) die Grenzwerte gegen 00; 11; 22; 4,54{,}5 und \infty bilden.

Grenzwerte im Unendlichen: limx±f(x)\displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)

(Ausmultiplizierte) gebrochen-rationale FunktionenZählergrad größer als Nennergrad\Rightarrow Grenzwert ist je nach Vorzeichen ±\pm \infty.Zählergrad gleich groß wie Nennergrad\Rightarrow Grenzwert entspricht dem Bruch der Koeffizienten der höchsten Potenzen im Zähler und Nenner.Zählergrad kleiner als Nennergrad\Rightarrow Grenzwert ist 0.

--Grenzwerte gegen reelle Zahlen: limxk±0f(x)\displaystyle\lim_{x \rightarrow k\pm 0} f(x)

Gebrochenrationale Funktionen Vorgehen bei nicht behebbaren Definitionslücken:Der Grenzwert liegt im Unendlichen, nur das Vorzeichen ist unklar.Zähler und Nenner als Linearfaktoren schreiben.Grenzwert kk einsetzen und bei allen Faktoren nur die Vorzeichen merken. Bei dem Faktor, der 0 wird, entscheiden, ob man sich von rechts (+0) oder von links (-0) nähert und das Vorzeichen danach wählen.Alle Vorzeichen miteinander "verrechnen" (minus mal minus ergibt plus).Das resultierende Vorzeichen ist das Vorzeichen von \infty und zeigt damit den Grenzwert an.Vorgehen bei hebbaren Definitionslücken:Funktionsterm kürzenWert einsetzenAusrechnen

Beispiele:

Grenzwerte im Unendlichen:

  1. limx±2x314x123x+3=\displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{2x^3-14x-12}{-3x+3}=-\infty

  2. limx±2x314x123x3+3=23\displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{2x^3-14x-12}{-3x^3+3}=-\frac{2}{3}

  3. limx±2x314x123x4+3=0\displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{2x^3-14x-12}{-3x^4+3}=0

Grenzwerte gegen reelle Zahlen:

nicht-hebbar:limx12x314x123x+3=limx12(x+1)(x+2)(x3)3(x1)limx1+02(x+1)+(x+2)+(x3)3(x1)+=+limx102(x+1)+(x+2)+(x3)3(x1)=\def\arraystretch{2} \begin{array}{ll} \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} &\dfrac{2x^3-14x-12}{-3x+3}= \\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}& \displaystyle\dfrac{2(x+1)(x+2)(x-3)}{-3(x-1)}\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1+0}& \dfrac{\overbrace{2(x+1)}^{+}\overbrace{(x+2)}^{+}\overbrace{(x-3)}^{-}}{\underbrace{-3}_{-}\underbrace{(x-1)}_{+}}=+\infty\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1-0}& \dfrac{\overbrace{2(x+1)}^{+}\overbrace{(x+2)}^{+}\overbrace{(x-3)}^{-}}{\underbrace{-3}_{-}\underbrace{(x-1)}_{-}}=-\infty\end{array}

hebbar:limx12x314x123x3=limx12(x+1)(x+2)(x3)3(x+1)=limx12(x+2)(x3)3=4\def\arraystretch{2} \begin{array}{ll} \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} &\dfrac{2x^3-14x-12}{-3x-3}= \\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}& \dfrac{2(x+1)(x+2)(x-3)}{-3(x+1)}=\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}& \dfrac{2(x+2)(x-3)}{-3}=4\end{array}


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