Aufgaben zur Aufstellung von Ebenengleichung

In den folgenden Bildern ist je eine Ebene E dargestellt. Stelle die dargestellte Ebene in Parameterform auf.

Gegeben sind die parallelen Geraden

\displaystyle \mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}

und

\displaystyle \mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}

Bestimme die Gleichung der Ebene $\mathrm{E}$ in Parameterform, in der die beiden Geraden $\mathrm{g}$ und $\mathrm{h}$ liegen.

3

Gegeben ist die Gerade $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ und der Punkt $\mathrm P(1;\;-3;\;-3)$ , der nicht auf der Geraden liegt.

Bestimme die Gleichung der Ebene $\mathrm{E}$ in Parameterform, in der der Punkt $\mathrm{P}$ und die Gerade $\mathrm{g}$ liegen.

4

Gegeben sind die zueinander windschiefen Geraden $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}$ . Bestimme die Gleichung der Ebene $\mathrm E$ in Parameterform, in der die Gerade $\mathrm g$ liegt und zu der die Gerade $\mathrm h$ parallel ist.

5

Stelle aus den folgenden drei Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf.

$\mathrm A(1 ;\;0 ;\;3)$ , $\mathrm B(0 ;\;2 ;\;1)$ , $\mathrm C(2 ;\;2 ;\;4)$
$\mathrm A(0;\; 1;\;2)$ , $\mathrm B(3 ,\;3 ;\;3)$ , $\mathrm C(-1;\; 1;\;4)$
$\mathrm A(0;\; 0;\;0)$ , $\mathrm B(1;\; 0;\;3)$ , $\mathrm C(-1;\;2 ;\;0)$
$\mathrm A(1;\; 1;\;-1)$ , $\mathrm B(1;\;2;\;1)$ , $\mathrm C(0;\;3;\;1)$
$\mathrm A(3;\;1;\;2)$ , $\mathrm B(2;\;3;\;1)$ , $\mathrm C(4;\;3;\;3)$
$\mathrm A(2;\;2;\;2)$ , $\mathrm B(5;\;2;\;1)$ , $\mathrm C(3;\;2;\;4)$
$\mathrm A(40;\;80;\;0)$ , $\mathrm B(20;\;60;\;10)$ , $\mathrm C(55;\;90;\;20)$

6

Stelle aus zwei Punkten und einem Richtungsvektor eine Ebenengleichung in Parameterform auf.

$\mathrm A(1;\;3;\;-2)$ , $\mathrm B(3;\;7;\;5)$ , $\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}-2\\10\\-7\end{pmatrix}$
$\mathrm A(2;\;1;\;-3)$ , $\mathrm B(1;\;-3;\;-3)$ , $\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$
$\mathrm A(8;\;13;\;9)$ , $\mathrm B(4;\;-3;\;-1)$ , $\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}-6\\1\\1\end{pmatrix}$

7

Stelle aus einem Punkt und zwei Richtungsvektoren eine Ebenengleichung in Parameterform auf.

$\mathrm A(1;\;3;\;-2)$ , $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-2\\10\\-7\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}1\\-2\\6\end{pmatrix}$
$\mathrm A(1;\;1;\;1)$ , $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$
$\mathrm A(5;\;5;\;-23)$ , $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}6\\1\\-17\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}1{,}5\\-2\\8\end{pmatrix}$

8

Gegeben sind die Geraden $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$ , die sich im Punkt $\mathrm S(2;\;2;\;-3)$ schneiden. Bestimme die Ebene $\mathrm E$ in Parameterform, in der beide Geraden liegen.