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Polarkoordinaten

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Neben den üblichen kartesischen Koordinaten ("xx-/yy-Koordinate") kann man jeden Punkt einer Ebene auch mit Polarkoordinaten beschreiben.

Denn jeder Punkt PP ist durch die Angabe folgender zwei Werte eindeutig festgelegt:

  • Entfernung rr des Punktes vom Koordinatenursprung

  • Winkel φ\varphi zwischen der positiven x-Achse und der Strecke [OP][OP]

Das Paar (rφ)(r|\varphi) nennt man Polarkoordinaten.

BeispielPolarkoordinaten

Der Punkt PP ist 55 LE (Längeneinheiten) vom Koordinatenursprung entfernt und schließt mit der positiven x-Achse einen Winkel mit dem Maß 110°110° ein.

Somit lauten seine Polarkoordinaten (5110°)(5|110°).

Umrechnung

a) Polarkoordinaten \rightarrow kartesische Koordinaten

Man hat einen Punkt PP in Polarkoordinaten, also (rφ)(r|\varphi), gegeben und möchte seine kartesischen Koordinaten berechnen.

Umrechnung_pol-kart

Wendet man im rechtwinkligen Dreieck OFP\triangle OFP die Definition des Kosinus bzw. Sinus an, so ergibt sich

cos(φ)=xr\cos(\varphi)=\frac{x}{r}\, bzw. sin(φ)=yr\,\sin(\varphi)=\frac{y}{r}.

Multipliziert man beide Gleichungen jeweils mit rr, so ergibt sich:

b) Kartesische Koordinaten \rightarrow Polarkoordinaten

Man hat einen Punkt PP in kartesischen Koordinaten, also (xy)(x|y), gegeben und möchte seine Polarkoordinaten berechnen.

Umrechnung_kart-pol

Wendet man im rechtwinkligen Dreieck OFP\triangle OFP den Satz des Pythagoras an und zieht anschließend die Wurzel, so erhält man:

Wendet man im selben Dreieck die Definition des Tangens und anschließend die inverse Funktion an, so erhält man:

Die letzte Beziehung ist allerdings nicht allgemeingültig, sondern muss ggf. noch modifiziert werden. Denn je nachdem, in welchem Quadranten der Punkt PP liegt, ergeben sich unterschiedliche Vorzeichen für xx bzw. yy. Daher ist die folgende Fallunterscheidung nötig:

Da die Gleichung außerdem für x=0x=0 nicht definiert ist (xx-Koordinate im Nenner), muss dieser Fall gesondert betrachtet werden:

Beispielaufgabe

Der Punkt P hat die kartesischen Koordinaten (43)(-4|3). Mit den obigen Formeln können seine Polarkoordinaten berechnet werden:

Da x<0x<0 ist, muss für die Berechnung von φ\varphi die modifizierte Formel benutzt werden:

Der Punkt P hat somit (5143,13°)(5|143{,}13°) als Polarkoordinaten.


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