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Aufgaben zum Abstand

Hier findest du Übungsaufgaben zum Abstand in der Geometrie. Lerne, den Abstand zwischen Punkten und/oder weiteren Objekten zu berechnen.

  1. 1

    Berechne den Abstand der folgenden Punkte.

    1. A(5    2  )B(3   6  )A\left(5\;|\;-2\;\right) B\left(3\ |\;6\;\right)

    2. A(2    2    1)A\left(2\;\left|\;-2\;\left|\;1\right.\right.\right), B(4    4    2)B\left(4\;\left|\;-4\;\left|\;2\right.\right.\right)

    3. A(1    2    2)A\left(-1\;\left|\;-2\;\left|\;2\right.\right.\right),    B(2    4    4)B\left(-2\;\left|-\;4\;\left|\;4\right.\right.\right)

    4. A(6    0    1)A\left(6\;\left|\;0\;\left|\;1\right.\right.\right),    B(1    0    1)B\left(1\;\left|\;0\;\left|\;1\right.\right.\right)

    5. A(8    9    10)A\left(8\;\left|\;9\;\left|\;10\right.\right.\right),    B(2    6    8)B\left(2\;\left|\;6\;\left|\;8\right.\right.\right)

    6. A(0    0    6)A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;6\right.\right.\right),    B(0    0    0)B\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)

    7. A(37    21    5)A\left(37\;\left|\;21\;\left|\;5\right.\right.\right),    B(13    14    5)B\left(13\;\left|\;14\;\left|\;5\right.\right.\right)

    8. A(1    2    1)A\left(1\;\left|\;2\;\left|\;1\right.\right.\right),    B(2    3    2)B\left(2\;\left|\;3\;\left|\;-2\right.\right.\right)

    9. A(4    3    1)A\left(4\;\left|\;-3\;\left|\;1\right.\right.\right),    B(2    2    2)B\left(-2\;\left|\;-2\;\left|\;-2\right.\right.\right)

    10. A(7    3    4)A\left(7\;\left|\;3\;\left|\;4\right.\right.\right),    B(0    4    7)B\left(0\;\left|\;-4\;\left|\;-7\right.\right.\right)

    11. A(13    17    6)A\left(13\;\left|\;17\;\left|\;6\right.\right.\right),    B(35    20    14)B\left(35\;\left|\;20\;\left|\;14\right.\right.\right)

    12. A(3    2    1    4)A\left(3\;\left|\;-2\;\left|\;-1\right.\;\right.\left|\;4\right.\right),    B(1    6    3    0)B\left(-1\;\left|\;-6\;\left|\;3\;\left|\;0\right.\right.\right.\right)

  2. 2

    Berechne den Abstand der Gerade zur Ebene.

    1. E:  (113)[x(011)]=0E:\;\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0

        g:  x=(311)+λ(121)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}

    2. E:  x=(213)+λ(121)+μ(212)E:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix},

      g:  x=(123)+σ(147)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-1\\-4\\7\end{pmatrix}

  3. 3

    Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden.

    1. g:  x=(132)+λ(123)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix} ,    h:  x=(1443)+μ(230)h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}

    2. g:  x=(110)+λ(143)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix},    h:  x=(000)+μ(102)h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}

    3. g:  x=(614)+λ(311)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}6\\1\\4\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix},    h:  x=(5413)+μ(112)h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}5\\4\\13\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}

  4. 4

    Berechne den Abstand der beiden parallelen Geraden.

    1. g:  x=(111)+λ(121)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},    h:  x=(131)+μ(242)h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}

  5. 5

    Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Projektionsverfahren.

    1. E:  (123)[x(120)]=0E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0,    P(3    1    2)P\left(3\;\left|\;-1\;\left|\;2\right.\right.\right)

    2. E:  (111)+λ(211)+μ(113)E:\;\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix},    P(1    3    1)P\left(1\;\left|\;-3\;\left|\;1\right.\right.\right)

    3. E:  (326)x+27=0E:\;\begin{pmatrix}-3\\2\\-6\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{ x}+27=0,    P(2    4    1)P\left(2\;\left|\;-4\;\left|\;1\right.\right.\right)

  6. 6

    Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren.

    1. E:  (123)[x(120)]=0E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0,    P(3    1    2)P\left(3\;\left|\;-1\;\left|\;2\right.\right.\right)

    2. E:  X=(111)+λ(211)+μ(113)E:\;\vec X=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix},     P(1    3    1)\ P\left(1\;\left|\;-3\;\left|\;1\right.\right.\right)

    3. E:  (326)x+27=0E:\;\begin{pmatrix}-3\\2\\-6\end{pmatrix}\circ\overrightarrow x+27=0    ,    P(2    4    1)P\left(2\;\left|\;-4\;\left|\;1\right.\right.\right)

  7. 7

    Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene.

    1. P(4    3    1)P\left(4\;\left|\;3\;\left|\;1\right.\right.\right),    E:  3x1+x22x35=0E:\;3x_1+x_2-2x_3-5=0

    2. P(1    1    0)P\left(-1\;\left|\;1\;\left|\;0\right.\right.\right),    E:  x1+2x2x33=0E:\;x_1+2x_2-x_3-3=0

    3. P(1    8    5)P\left(1\;\left|\;8\;\left|\;5\right.\right.\right),    E:  2x1x2+2x37=0E:\;2x_1-x_2+2x_3-7=0

    4. P(0    8    15)P\left(0\;\left|\;8\;\left|\;1\right.5\right.\right),    E:  4x13x2+x32=0E:\;4x_1-3x_2+x_3-2=0

    5. P(2    1    3)P\left(2\;\left|\;-1\;\left|\;3\right.\right.\right),    E:  5x1+x2+x31=0E:\;5x_1+x_2+x_3-1=0

    6. P(7    8    9)P\left(7\;\left|\;8\;\left|\;9\right.\right.\right),    E:  x1+x2+3=0E:\;x_1+x_2+3=0

    7. P(5    4    6)P\left(5\;\left|\;-4\;\left|\;6\right.\right.\right),    E:  x3+2=0E:\;x_3+2=0

    8. P(1    3    3)P\left(1\;\left|\;3\;\left|\;3\right.\right.\right),    E:  10x17x2+2x35=0E:\;10x_1-7x_2+2x_3-5=0

    9. P(2    0    7)P\left(2\;\left|\;0\;\left|\;7\right.\right.\right),    E:  8x1+3x25x3=0E:\;8x_1+3x_2-5x_3=0

    10. P(100    200    50)P\left(100\;\left|\;200\;\left|\;50\right.\right.\right),    E:  9x14x27x311=0E:\;9x_1-4x_2-7x_3-11=0

  8. 8

    Berechne den Abstand des Koordiantenursprungs von der Ebene.

    1. E:  x1+x2x31=0E:\;x_1+x_2-x_3-1=0

    2. E:  4x1+5x23x38=0E:\;4x_1+5x_2-3x_3-8=0

    3. E:  x2x3+2=0E:\;x_2-x_3+2=0

    4. E:  x1x3+2=0E:\;x_1-x_3+2=0

    5. E:  18x113x2+7x322=0E:\;18x_1-13x_2+7x_3-22=0

    6. E:  2x1+8x25x3+10=0E:\;2x_1+8x_2-5x_3+10=0

    7. E:  12x1+2x2+5x331=0E:\;12x_1+2x_2+5x_3-31=0

    8. E:  100x113x2+43x3126=0E:\;100x_1-13x_2+43x_3-126=0

  9. 9

    Berechne den Abstand des Punktes von der Geraden.

    1. P(1    3    3)P\left(1\;\left|\;-3\;\left|\;-3\right.\right.\right),    g:  x=(213)+λ(131)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}

    2. P(5    0    0)P\left(5\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right),    g:  x=(111)+λ(211)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}

    3. P(2    3    10)P\left(-2\;\left|\;3\;\left|\;10\right.\right.\right),    g:  x=(123)+λ(432)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-4\\3\\2\end{pmatrix}

    4. P(5    1    2,5)P\left(5\;\left|\;-1\;\left|\;-2{,}5\right.\right.\right),    g:  x=(363)+λ(032)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\-6\\3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}

  10. 10

    Berechne den Abstand der beiden Ebenen.

    1. E:  (236)[x(012)]=0E:\;\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0,    F:  x=(142)+λ(320)+μ(021)F:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}

    2. E:  x=(122)+λ(102)+μ(213)E:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix},    F:  x=(312)+σ(311)+τ(115)F:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}+\tau\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}

    3. E:  (235)[x(011)]=0E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0,    E:  (4610)[x(120)]=0E:\;\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0

  11. 11

    Gegeben sind der Punkt P(462)P\left(4\vert 6\vert -2\right) und die Gerade

    g:  OX=(401)+r(111)g:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}.

    Berechne den Abstand des Punktes PP von der Geraden gg. Gib außerdem den Lotfußpunkt an.

    Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine zu gg orthogonale Hilfsebene, die den Punkt PP enthält.

  12. 12

    Gegeben sind der Punkt P(012)P\left(0|1|2\right) und die Gerade

    g:  OX=(201)+r(010)g:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}.

    Berechne den Abstand des Punktes PP von der Geraden gg. Gib auch den Lotfußpunkt an.

    Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe, dass der Verbindungsvektor (Lotvektor) eines Punktes FF auf der Geraden gg zum Punkt PP senkrecht auf dem Richtungsvektor u\vec u der Geraden gg steht.

  13. 13

    Gegeben sind der Punkt P(143)P\left(-1\vert4\vert3\right) und die Ebene

    E:OX=(123)+r(321)+s(222)E:\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}

    Berechne den Abstand des Punktes P von der Ebene EE.

    Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Hessesche Normalenform.

  14. 14

    Gegeben sind der Punkt P(556)P\left(5\vert-5\vert6\right) und die Ebene

    E: 2x12x2+x3=8E:\ 2x_1-2x_2+x_3=8.

    Gesucht ist der Abstand des Punktes PP von der Ebene EE.

    Gib auch den Lotfußpunkt an.

    Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe das Lotfußpunktverfahren.

  15. 15

    Gegeben sind die beiden parallelen Geraden

    g:  OX=(255)+r(113)g:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}2\\5\\5\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}und h:  OX=s(226)h:\;\overrightarrow{OX}=s \cdot \begin{pmatrix}-2\\-2\\-6\end{pmatrix}

    Berechne ihren Abstand.

  16. 16

    Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden

    g:  OX=(011)+r(110)g:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} und

    h:  OX=(142)+s(232)h:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}

    Berechne ihren Abstand und die Lotfußpunkte auf den beiden Geraden.

    Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine Hilfsebene HH in Parameterform, die die Gerade hh enthält. Als zweiten Richtungsvektor von HH verwendest du den Normalenvektor, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Geraden steht. Wandle die Ebene in die Normalenform um.

    Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden kk, die senkrecht zu gg ist und in H H liegt.

    Schneide kk mit gg und mit hh.

  17. 17

    Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden

    g:  OX=(011)+r(110)g:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} und

    h:  OX=(142)+r(232)h:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}

    Berechne ihren Abstand.

    Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine Hilfebene HH in Normalenform, die den Aufpunkt der Geraden hh enthält. Der Normalenvektor n\vec n der Ebene HH steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Geraden. Verwende zur Abstandberechnung die Hessesche Normalenform.

  18. 18

    Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden

    g:  OX=(501)+r(411)g:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}5\\0\\1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}-4\\1\\1\end{pmatrix} und

    h:  OX=(537)+s(212)h:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}5\\3\\7\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}

    Berechne ihren Abstand und die beiden Lotfußpunkte auf den Geraden.

    Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe, dass der kürzeste Verbindungsvektor d\vec d zwischen den beiden Geraden senkrecht auf ihnen steht. Erstelle eine Vektorgleichung vom Punkt PgP \in g über den Verbindungsvektor d=dn0\vec d=d\cdot\overrightarrow {n_0} zum Punkt QhQ\in h. Die Lösung der Vektorgleichung liefert den Abstand dd und die beiden Lotfußpunkte.

  19. 19

    Gegeben sind eine Gerade g:  OX=(143)+r(111)g:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} und eine Ebene

    E: x1+2x23x3=6E:\ x_1+2x_2-3x_3=6.

    Berechne ihren Abstand und den Lotfußpunkt.

    Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine Lotgerade.

  20. 20

    Gegeben sind die Gerade g:  OX=(143)+r(111)g:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} und die Ebene

    E: x1+2x23x3=6 E: \ x_1+2x_2-3x_3=6

    Die Gerade gg ist parallel zur Ebene EE.

    Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Hessesche Normalenform.

  21. 21

    Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen in der Koordinatenform:

    E1: 2x13x2+x3=4E_1: \ 2x_1-3x_2+x_3=4 und E2: 2x13x2+x3=7E_2: \ 2x_1-3x_2+x_3=7

    Berechne ihren Abstand mit Hilfe der Berechnung des Abstandes eines Punktes der Ebene E1E_1 zur Ebene E2E_2.

  22. 22

    Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen in der Koordinatenform:

    E1: 2x13x2+x3=4E_1: \ 2x_1-3x_2+x_3=4 und E2: 2x13x2+x3=7E_2: \ 2x_1-3x_2+x_3=7. Berechne ihren Abstand.

    Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Abstände beider Ebenen vom Koordinatenursprung.


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