Beziehungen trigonometrischer Funktionen

Sinus, Kosinus und Tangens stehen in unterschiedlichen Beziehungen. Hierbei unterscheidet man zwischen der Komplementbeziehung und der Supplementbeziehung.

Komplementbeziehungen

$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)$
$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$
$\tan(90^\circ-\alpha)=\frac1{\tan(\alpha)}$

Da in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel immer 180° ist, gilt in einem rechtwinkligen Dreieck $\beta=90°-\alpha$ .

Anhand der Sinus-, Kosinus- und Tangensformeln sieht man:

\displaystyle \sin(90°-\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{c}

\displaystyle \sin(90°-\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{c}

Deshalb ist $\;\sin(90°-\alpha)=\cos(\alpha)$ .

Die anderen Gleichungen lassen sich auf gleiche Weise erklären.

Beispiel

Betrachte das gegebene Dreieck. Berechne $\cos(\alpha)$ auf die gleiche Weise wie oben.

Mit der Komplementbeziehung kannst du $\cos(\alpha)$ mit $\sin(90°-\alpha)$ gleichsetzen.

\displaystyle \sin(90°-\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{c}

Wegen der Summe der Innenwinkel gilt folgende Gleichung.

\displaystyle \sin(90°-\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{c}

Füge den Wert von $\beta$ ein, berechne das Ergebnis und runde es auf $2$ Dezimalstellen.

$\sin(\beta)=\sin(40°)\approx0{,}59.$

Deshalb ist $\cos(\alpha)\approx0{,}59.$

Supplementbeziehungen

Sinus	Kosinus	Tangens
$\sin(180° + \alpha)=-\sin(\alpha)$	$\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos(\alpha)$	$\tan(180^\circ+\alpha)=+{\textstyle\tan}(\alpha)$
$\sin(180°-\alpha)=+\sin(\alpha)$	$\cos(180°-\alpha)=-\cos(\alpha)$	$\tan(180^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha)$
$\sin(360^\circ-\alpha)=-\sin(\alpha)$	$\cos(360^\circ-\alpha)=+\cos(\alpha)$	$\tan(360^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha)$

Veranschaulichung

$\sin(180°+\alpha)=-\sin(\alpha)\;$ und $\;\cos(180°+\alpha)=-\cos(\alpha)\;$ lassen sich hier testen:

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