Warum ist die Ableitung vom Sinus der Kosinus?

Beweis durch die h-Methode

Im nächsten Schritt verwendet man das Additionstheorem für die Sinusfunktion:

$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$

Im Zähler fasst man $\sin(x)\cos(h)$ und $-\sin(x)$ zusammen und klammert $\sin(x)$ aus.

Man kann den Bruch in eine Summe aus zwei Brüchen auftrennen.

Wenn es die Grenzwerte beider Summanden gibt, kann man den Limes in beide Summanden ziehen.

$\sin(x)$ und $\cos(x)$ hängen nicht von $h$ ab. Deswegen darf man sie vor den Limes schreiben.

$\lim\limits_{h\to0}\frac{\cos(h)-1}{h}$ ist die Ableitung des Kosinus an der Stelle $0$. Das sieht man mit der $h$-Methode:

$(\cos(0))'=\lim\limits_{h\to0}\frac{\cos(0+h)-\cos(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\cos(h)-1}{h}$.

Die Ableitung an der Stelle $0$ ist anschaulich die Steigung der Tangente:

Der Kosinus hat bei $0$ ein Maximum. Deswegen hat die Tangente die Steigung $0$. Das heißt: $(\cos(0))'=0$.

Für sehr kleine $h$ ist $h$ in etwa genauso groß wie $\sin(h)$.

Im Grenzwert gilt also $\lim\limits_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}=1.$

Um die Kettenregel zu verwenden, setzt man $v(x)=x+\frac{\pi}{2}$ und $u(v)=\sin(v)$. Die Kettenregel lautet:

$u(v(x))'=u'(v(x))\cdot v'(x)$.

Da jetzt die Ableitung vom Sinus bekannt ist, kann man $u'$ berechnen.

$u'(v)=\sin'(v)=\cos(v)$.

Die Ableitung von $v$ ist

$v'(x)=\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Verschiebt man die Kosinuskurve um $\frac{\pi}{2}$ nach links, bekommt man die negative Sinuskurve.