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Satz vom Nullprodukt

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Der Satz vom Nullprodukt sagt aus, wenn das Produkt zweier Faktoren 00 ist, so ist mindestens einer dieser Faktoren gleich 00. In Zeichen:

Wenn ab=0a \cdot b = 0, so ist a=0a=0 und/oder b=0b=0.

Man spricht auch von Nullproduktregel.

Verallgemeinerung

Ist ein Produkt von mehreren Faktoren Null, so muss einer der Faktoren Null sein. Bei drei Faktoren heißt das zum Beispiel:

Wenn abc=0a\cdot b\cdot c=0, so ist a=0a=0 oder b=0b=0 oder c=0c=0.

Beispiel 1

Wende den Satz vom Nullprodukt an, um die Lösungsmenge der folgenden Gleichung anzugeben:

 x(x2)=0~x \cdot (x-2)=0

Die Nullproduktregel sagt aus, wenn das Produkt von xx und x2x-2 gleich 00 ist, so ist x=0x=0 oder x2=0x-2=0, also

x=0x=0 und/oder x=2x=2

Beispiel 2

Wende den Satz vom Nullprodukt an, um die Lösungsmenge der folgenden Gleichung anzugeben:

(x+1)x(x1)(x2)=0(x+1)\cdot x\cdot (x-1)\cdot (x-2)=0

Das Produkt kann nur Null werden, wenn einer der Faktoren Null ist, also x+1=0  (x=1)x+1=0\;(\Leftrightarrow x=-1) oder x=0x=0 oder x1=0  (x=1)x-1=0\; (\Leftrightarrow x=1) oder x2=0  (x=2)x-2=0\; (\Leftrightarrow x=2).

Die Lösungsmenge ist also

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