Reelle Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen enthält alle rationalen Zahlen und alle irrationalen Zahlen. Irrationale Zahlen lassen sich als nichtperiodische Dezimalbrüche mit unendlich vielen Nachkommastellen darstellen. Man schreibt die Menge der reellen Zahlen als $\mathbb{R}$ .

Warum braucht es die reellen Zahlen?

Die Zahlenbereiche der natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen enthalten so ziemlich alle Zahlen, die man für gewöhnliche Rechnungen braucht. Doch ab einem gewissen Punkt taucht das Problem auf, dass die rationalen Zahlen doch nicht ausreichen.

Schauen wir uns hierzu die folgende Gleichung an:

$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{2}$

Die Zahl $\sqrt{2}\$ ist diejenige Zahl, die mit sich selbst multipliziert $2$ ergibt. Sie ist allerdings keine rationale Zahl (sie ist irrational), weshalb ein weiterer, größerer Zahlenbereich existieren muss, der solche Zahlen enthält - die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ .

Beispiele für reelle Zahlen

Zahl	rational oder irrational?
$3$	rational
$\frac{5}{7}$	rational
$3{,}56\overline{24}$	rational
$0{,}101001000100001\ldots$	irrational
die Kreiszahl $\pi$	irrational
$\sqrt{2}$	irrational
die eulersche Zahl $\mathrm{e}$	irrational

Alle diese Zahlen sind im Bereich der reellen Zahlen enthalten, allerdings sind manche ( $3;~\frac57$ ) auch schon in den kleineren Bereichen enthalten. Die irrationalen Zahlen ( $\sqrt{2},e,~\pi$ ) sind nur in den reellen Zahlen enthalten.

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