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Aufgaben zu Äquivalenzrelationen

  1. 1

    Betrachte die Relation "xx und yy besitzen dieselbe ISB-Nummer" auf der Grundmenge aller bisher gedruckten Buchexemplare.

    Welche Eigenschaften besitzt diese Relation?

  2. 2

    Was muss man machen, wenn man entscheiden will, ob eine Relation eine Äquivalenzrelation ist oder nicht?

  3. 3

    Entscheide, welche der folgenden Relationen eine Äquivalenzrelation ist:

    1. xx und yy gehen in dieselbe Klasse“ auf der Menge aller Schüler einer Schule

    2. xyx \ge y“ auf der Menge Z\mathbb{Z} der ganzen Zahlen

    3. xx und yy sind ungerade“ auf der Menge N1\mathbb{N}_{\ge1}

    4. xx und yy besitzen denselben Rest bei der Division durch zwei“ auf der Menge N1\mathbb{N}_{\ge1}

    5. x=yx=y“ auf einer beliebigen, nicht-leeren Grundmenge MM \ne \emptyset

  4. 4

    Wie viele lineare Äquivalenzrelationen auf einer Grundmenge MM gibt es?

  5. 5

    Beschreibe, wie die Äquivalenzklassen der folgenden Äquivalenzrelationen aussehen:

    1. xx und yy gehen in dieselbe Klasse“ auf der Menge aller Schüler einer Schule

    2. xx und yy besitzen denselben Rest bei der Division durch zwei“ auf der Menge N1\mathbb{N}_{\ge1}

    3. x=yx=y“ auf einer beliebigen, nicht leeren Grundmenge MM\ne \emptyset

  6. 6

    Beweise die folgenden Sätze:

    1. Sei RR eine Äquivalenzrelation auf der Grundmenge MM. Dann ist die Menge aller Äquivalenzklassen M/R:={[x]RxM}{M/{\sim_R}}:= \{ [x]_R\,|\,x\in M\} eine Zerlegung der Grundmenge.

    2. Sei MM eine Menge und PP eine Zerlegung dieser Menge. Dann gibt es genau eine Äquivalenzrelation \sim, die diese Zerlegung induziert, für die also M/=PM/{\sim}=P ist. Diese Äquivalenzrelation ist definiert durch:

      xy:AP:x,yAx\sim y :\Leftrightarrow \exists A\in P: x,y\in A

  7. 7

    Sei MM eine Menge und PP eine Zerlegung dieser Menge. Es sei die Relation \sim durch die folgende Eigenschaft definiert:

    xy:AP:x,yAx \sim y:⇔∃A\in P:x,y \in A

    Beweise die folgenden Aussagen:

    1. \sim ist eine Äquivalenzrelation

    2. AP:xA:[x]=A\forall A\in P:\forall x\in A: [x]=A

    3. M/=PM/{\sim} = P


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