6Lineare (Un)abhängigkeit (1/2)

Zwei Vektoren

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ nennt man linear abhängig, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist:

$\vec{a} = \alpha \cdot \vec{b}$ oder $\vec{b} = \beta \cdot \vec{a}$

Ist das nicht der Fall, dann nennen wir die Vektoren linear unabhängig.

Bildlich kann man sich das so vorstellen:

Beispiel 1

Geben sind folgende Vektoren:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 21 \end{pmatrix}$

Jetzt versuchen wir eine passende Zahl n zu finden, mit der wir $\vec{a}$ multiplizieren, damit $\vec{b}$ rauskommt.

$n \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 21 \end{pmatrix}$

Wenn wir die x-Koordinate von $\vec{a}$ mit 3 multiplizieren, erhalten wir die passende x-Koordinate von $\vec{b}$.

Jetzt prüfen wir noch, ob dies auch für die $y$- und $z$-Koordinaten gilt:

$y$-Koordinate: $3 \cdot 3 = 9$

$z$-Koordinate: $7 \cdot 3 = 21$

Wir stellen fest: stimmt! Also sind die beiden Vektoren linear abhängig.

Beispiel 2

Gegeben sind folgende Vektoren:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -9 \end{pmatrix}$

Wir versuchen wieder eine passende Zahl n zu finden, mit der $\vec{a}$ ein Vielfaches von $\vec{b}$ ist. Dafür gehen wir wieder Koordinatenweise vor:

Die x-Koordinate von $\vec{a}$ erhalten wir, indem wir die $x$-Koordinate von $\vec{b}$ mit $(-\frac{1}{2})$ multiplizieren.

Dies gilt auch für die $y$-Koordinate: $4\cdot(-\frac{1}{2})=-2$

Dies gilt aber nicht für die $z$-Koordinate: $(-9) \cdot (-\frac{1}{2}) \neq 3$

Somit konnten wir keine passende Zahl finden und daher sind $\vec{a}$ und $\vec{b}$ linear unabhängig.