24Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen

Wenn man eine Gerade und eine Ebene im Raum betrachtet, gibt es 3 verschiedene Möglichkeiten wie diese zueinander stehen können:

1. Die Gerade liegt in der Ebene.

2. Die Gerade ist echt parallel zur Ebene.

3. Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt $S$.

Vorgehensweise

Um die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene zu bestimmen, ist es empfehlenswert wenn man eine Parametergleichung der Geraden und eine Koordinatengleichung der Ebene verwendet.

Gegeben sind eine Gerade $g:\: \vec X= \vec A+r\cdot \vec u$ und eine Ebene $E$ in Koordinatenform

$E:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=n_0$ mit $\vec n=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$.

1. Entscheidung über die gegenseitige Lage von $g$ und $E$

Man betrachtet das Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor $\vec n$ der Ebene $E$ und dem Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden $g$. Das folgende Diagramm erläutert die Entscheidungsfindung.

2. Schnittpunktsberechnung (für den Fall $\vec{n}\circ\vec{u}\ne0$ )

Schritt 1: Die Geradengleichung wird in die Koordinatenform der Ebene eingesetzt:

Der allgemeine Geradenvektor hat die Koordinaten:

$x_1=A_1+r\cdot u_1$; $x_2=A_2+r\cdot u_2$ und $x_3=A_3+r\cdot u_3$

Durch Einsetzen dieser Terme in die Koordinatengleichung der Ebene $E:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=n_0$ erhält man eine Gleichung für den Geradenparameter $r$.

$n_1(A_1+r\cdot u_1)+n_2(A_2+r\cdot u_2)+n_3(A_3+r\cdot u_3)=n_0$

Schritt 2: Auflösung der Gleichung nach dem Parameter $r$

Man erhält für den Geradenparameter den Wert $r=r_S$.

Dieser Wert $r_S$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt $\;\;\Rightarrow \; \vec S= \vec A+r_S\cdot \vec u =\begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \\ s_3 \end{pmatrix}$.

Die Gerade $g$ und die Ebene $E$ schneiden sich im Punkt $S\left(s_1|s_2|s_3\right)$.

Um zu verdeutlichen, wie das Ganze genau funktionieren soll, folgt hier zu jeder der drei möglichen Lagebeziehungen ein Beispiel zum Ausklappen.

Hier findet man weitere Aufgaben zur Lagebeziehung.