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3Lösung 1e

Aufgabenstellung

11 Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f:x  e12x+e12xf: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

 

a)a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von GfG_f mit der yy-Achse und begründen Sie, dass GfG_f oberhalb der xx-Achse verläuft. (2 BE)

 

b)b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von GfG_f sowie das Verhalten von ff für xx \to -\infty und für xx \to \infty. (3 BE)

 

c)c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung ff'' von ff die Beziehung f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x) für xRx\in \mathbb{R} gilt. Weisen Sie nach, dass GfG_f linksgekrümmt ist. (4 BE)

 

\rightarrow Zur Kontrolle: f(x)=12(e12xe12x)f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)

 

d)d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von GfG_f. (3 BE)

e) Berechnen Sie die Steigung der Tangente gg an GfG_f im Punkt P(2f(2))P(2|f(2)) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt PP und die Gerade gg in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: 4x4-4\leq x\leq4, 1y9-1 \leq y \leq 9). (3 BE)

Lösung

Berechnen der Tangentensteigung

Die Steigung der Tangente ist per Definition gleich zur Ableitung in einem Punkt. Setze also x=2x=2 in die erste Ableitung ein.

f(2)=12(e122e122)=12(e1e1)1,2\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}&f'(2)&=&\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}\cdot2}-e^{-\frac{1}{2}\cdot 2}\right)\\&&=& \frac{1}{2}\cdot\left(e^1-e^{-1}\right)\\&&\approx& 1{,}2\end{array}

 

Die Steigung ist also 1,21{,}2.

Zeichnen des Punktes und der Tangente

Bestimme zunächst die yy-Koordinate von PP.

f(2)=e122+e122=e1+e13,1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f(2)&=& e^{\frac{1}{2}\cdot 2}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 2}\\&=& e^1 + e^{-1}\\&\approx & 3{,}1\end{array}

 

Die Koordinaten des Punktes sind also P(23,1)P(2|3{,}1).

Du zeichnest den Punkt Punkt PP in ein Koordinatensystem und bestimmst mit Hilfe eines Steigungsdreiecks einen weiteren Punkt QQ. Diese beiden Punkte verbindest du zu der Geraden gg.

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