Aufgabenstellung
Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind jeweils € wert, der Rest ist jeweils € wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.
Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“
: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von 1 €.“
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten und . (2 BE)
Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann. (2 BE)
Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets und .
Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet. (2 BE)
Lösung
Als erstes musst du dir eine Zufallsgröße definieren. Betrachte:
Anzahl der Gewinnmarken unter Flaschen.
Für jedes gilt: Die Zufallsgröße ist binomialverteilt mit der von -abhängigen Wahrscheinlichkeitsfunktion . Das folgt aus Teilaufgabe .
Nun möchtest du wissen, wie groß mindestens sein muss, damit gilt:
Als nächstes nutzt du aus, dass ist. Dann folgt:
Da die Zufallsgröße binomialverteilt ist, folgt weiter:
Jetzt kommt das Tafelwerk zum Einsatz. Dort siehst du unter Binomialverteilung zur Wahrscheinlichkeit nach und suchst den passenden Wert für . Alternativ kann man auch verschiedene Werte für einsetzen und schauen, wann die Gleichung erstmals erfüllt wird.
Mit beiden Methoden folgt: .