3Lösung 1e

Aufgabenstellung

Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei $100 \; 000$ der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind $12 \; 000$ jeweils $5$ € wert, der Rest ist jeweils $1$ € wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.

Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

$A$: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“

$B$: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von 1 €.“

$a)$ Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(B)$. (2 BE)

$b)$ Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis $A$ eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann. (2 BE)

Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets $P(A)=0{,}05$ und $P(B)=0{,}044$.

$c)$ Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet. (2 BE)

$d)$ Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks, wie viele Flaschen man mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $5$ % mindestens zwei Gewinnmarken zu finden.

Lösung

Dieser Aufgabenteil fragt nach dem Mittel des Gesamtwertes der Marken bei $20$ Flaschen. "Im Mittel" gibt dir das Stichwort Erwartungswert.

Aus diesem Grund musst du eine Zufallsvariable definieren, dessen Erwartungswert du bestimmen sollst. Diese Zufallsvariable soll den Geldgewinn durch Gewinnmarken angeben:

$Y$: Geldgewinn durch Gewinnmarken bei $20$ Flaschen

Dies gestaltet sich als relativ schwierig. Du solltest deshalb für jede gezogene Flasche $i \; (1\leq i \leq 20)$ eine weitere Zufallsgröße definieren:

$Y_i:$ Geldgewinn durch Gewinnmarke bei Flasche $i$.

Nach Annahme gilt für alle $i$ Flaschen:

• Die Zufallsgröße nimmt mit Wahrscheinlichkeit $0{,}95$ den Wert $\color{#CC0000}{0}$ (die Flasche enthält keine Gewinnmarke),

• mit Wahrscheinlichkeit $0{,}044$ den Wert $\color{#CC0000}{1}$ (die Flasche enthält eine Gewinnmarke im Wert von $1$ €) und

• mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05 - 0{,}044 = 0{,}006$ den Wert $\color{#CC0000}{5}$ (die Flasche enthält eine Gewinnmarke im Wert von $5$ €) an.

Du schreibst dir das am besten in eine übersichtliche Tabelle:

Nun berechnest du für ein beliebiges $Y_i$ den Erwartungswert mittels der Formel aus der Merkhilfe.

Es gilt:

Du möchtest jetzt aber wissen, wie groß der Erwartungswert von $Y$ ist. Da alle $Y_i$ den gleichen Erwartungswert haben, multiplizierst du dazu den Erwartungswert $E(Y_i)$ mit $20$.

Antwort: Im Durchschnitt erhältst du bei $20$ Flaschen einen Gesamtwert der Gewinnmarken von $1{,}48$ €.