Aufgabenstellung
Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind jeweils € wert, der Rest ist jeweils € wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.
Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“
: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von 1 €.“
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten und . (2 BE)
Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann. (2 BE)
Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets und .
Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet. (2 BE)
Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks, wie viele Flaschen man mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als % mindestens zwei Gewinnmarken zu finden.
Lösung
Dieser Aufgabenteil fragt nach dem Mittel des Gesamtwertes der Marken bei Flaschen. "Im Mittel" gibt dir das Stichwort Erwartungswert.
Aus diesem Grund musst du eine Zufallsvariable definieren, dessen Erwartungswert du bestimmen sollst. Diese Zufallsvariable soll den Geldgewinn durch Gewinnmarken angeben:
: Geldgewinn durch Gewinnmarken bei Flaschen
Dies gestaltet sich als relativ schwierig. Du solltest deshalb für jede gezogene Flasche eine weitere Zufallsgröße definieren:
Geldgewinn durch Gewinnmarke bei Flasche .
Nach Annahme gilt für alle Flaschen:
Die Zufallsgröße nimmt mit Wahrscheinlichkeit den Wert (die Flasche enthält keine Gewinnmarke),
mit Wahrscheinlichkeit den Wert (die Flasche enthält eine Gewinnmarke im Wert von €) und
mit Wahrscheinlichkeit den Wert (die Flasche enthält eine Gewinnmarke im Wert von €) an.
Du schreibst dir das am besten in eine übersichtliche Tabelle:
0,95 | 0,044 | 0,006 |
Nun berechnest du für ein beliebiges den Erwartungswert mittels der Formel aus der Merkhilfe.
Es gilt:
Du möchtest jetzt aber wissen, wie groß der Erwartungswert von ist. Da alle den gleichen Erwartungswert haben, multiplizierst du dazu den Erwartungswert mit .
Antwort: Im Durchschnitt erhältst du bei Flaschen einen Gesamtwert der Gewinnmarken von €.