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5Lösung 1g

Aufgabenstellung

11 Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f:x  e12x+e12xf: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

 

a)a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von GfG_f mit der yy-Achse und begründen Sie, dass GfG_f oberhalb der xx-Achse verläuft. (2 BE)

 

b)b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von GfG_f sowie das Verhalten von ff für xx \to -\infty und für xx \to \infty. (3 BE)

 

c)c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung ff'' von ff die Beziehung f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x) für xRx\in \mathbb{R} gilt. Weisen Sie nach, dass GfG_f linksgekrümmt ist. (4 BE)

 

\rightarrow Zur Kontrolle: f(x)=12(e12xe12x)f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)

 

d)d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von GfG_f. (3 BE)

 

e)e) Berechnen Sie die Steigung der Tangente gg an GfG_f im Punkt P(2f(2))P(2|f(2)) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt PP und die Gerade gg in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: 4x4-4\leq x\leq4, 1y9-1 \leq y \leq 9). (3 BE)

 

f)f) Berechnen Sie f(4)f(4), im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse GfG_f im Bereich 4x4-4 \leq x \leq 4 in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4 BE)

g)g) Zeigen Sie durch Rechnung, dass für xRx \in \mathbb{R} die Beziehung 14[f(x)]2[f(x)]2=1\quad\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2-[f'(x)]^2=1 gilt. (3 BE)

Lösung

Rechnung

Setze ein und vereinfache.

14[f(x)]2[f(x)]2=14[e12x+e12x]2[12(e12xe12x)]2\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}&& \frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2-[f'(x)]^2\\&=& \frac{1}{4}\cdot \left[e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right]^2-\left[\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)\right]^2\end{array}

Beachte, dass du jetzt die binomischen Formeln anwenden musst!

=14[e12x+e12x]2[12(e12xe12x)]2=14[(e12x)2+2e12xe12x+(e12x)2][(12)2(e12xe12x)2]=14[(e12x)2+2e12xe12x+(e12x)2][14((e12x)22e12xe12x+(e12x)2)]\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}\\&=& \frac{1}{4}\cdot \left[e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right]^2-\left[\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)\right]^2\\&=& \frac{1}{4}\cdot\left[(e^{\frac{1}{2}x})^2+2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right]-\left[(\frac{1}{2})^2\cdot (e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x})^2\right]\\&=&\frac{1}{4}\cdot\left[(e^{\frac{1}{2}x})^2+2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right]-\left[\frac{1}{4}\cdot\left((e^{\frac{1}{2}x})^2-2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right)\right]\end{array}

Überlege jetzt, wie sich die Exponenten zusammen addieren bzw. multiplizieren. Die Potenzgesetze helfen dir dabei.

=14[(e12x)2+2e12xe12x+(e12x)2][14((e12x)22e12xe12x+(e12x)2)]=14[ex+2e0+ex][14(ex2e0+ex)]\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}&=&\frac{1}{4}\cdot\left[(e^{\frac{1}{2}x})^2+2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right]-\left[\frac{1}{4}\cdot \left((e^{\frac{1}{2}x})^2-2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right)\right]\\&=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot e^{0} + e^{-x} \right]-\left[\frac{1}{4}\cdot \left(e^{x}-2\cdot e^{0} + e^{-x} \right)\right]\end{array}

Spätestens jetzt kannst du die 14\frac{1}{4} aus der zweiten Klammer herausziehen und ganz ausklammern.

=14[ex+2e0+ex(ex2e0+ex)]=14[ex+2e0+exex+2e0ex]\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}&=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot e^{0} + e^{-x} -\left(e^{x}-2\cdot e^{0} + e^{-x} \right)\right]\\&=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot e^{0} + e^{-x} -e^{x}+2\cdot e^{0} - e^{-x} \right]\end{array}

Spätestens jetzt kannst du wiederum die e0e^0 durch 11 ersetzen. Vereinfache außerdem so weit wie möglich.

=14[ex+21+exex+21ex]=14[2+2]=144=1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}&=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot 1 + e^{-x} -e^{x}+2\cdot 1 - e^{-x} \right]\\&=& \frac{1}{4}\cdot\left[2+2\right]\\&=& \frac{1}{4}\cdot 4\\&=& 1\end{array}

Geschafft! :) Damit ist die Gleichung gezeigt.


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