Aufgabenstellung
1 Gegeben ist die in R definierte Funktion f:x↦e21x+e−21x. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.
a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von Gf mit der y-Achse und begründen Sie, dass Gf oberhalb der x-Achse verläuft. (2 BE)
b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von Gf sowie das Verhalten von f für x→−∞ und für x→∞. (3 BE)
c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f′′ von f die Beziehung f′′(x)=41⋅f(x) für x∈R gilt. Weisen Sie nach, dass Gf linksgekrümmt ist. (4 BE)
→ Zur Kontrolle: f′(x)=21⋅(e21x−e−21x)
d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von Gf. (3 BE)
e) Berechnen Sie die Steigung der Tangente g an Gf im Punkt P(2∣f(2)) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: −4≤x≤4, −1≤y≤9). (3 BE)
f) Berechnen Sie f(4), im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse Gf im Bereich −4≤x≤4 in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4 BE)
=41⋅[f(x)]2−[f′(x)]241⋅[e21x+e−21x]2−[21⋅(e21x−e−21x)]2
===41⋅[e21x+e−21x]2−[21⋅(e21x−e−21x)]241⋅[(e21x)2+2⋅e21x⋅e−21x+(e−21x)2]−[(21)2⋅(e21x−e−21x)2]41⋅[(e21x)2+2⋅e21x⋅e−21x+(e−21x)2]−[41⋅((e21x)2−2⋅e21x⋅e−21x+(e−21x)2)]
==41⋅[(e21x)2+2⋅e21x⋅e−21x+(e−21x)2]−[41⋅((e21x)2−2⋅e21x⋅e−21x+(e−21x)2)]41⋅[ex+2⋅e0+e−x]−[41⋅(ex−2⋅e0+e−x)]
==41⋅[ex+2⋅e0+e−x−(ex−2⋅e0+e−x)]41⋅[ex+2⋅e0+e−x−ex+2⋅e0−e−x]