4Lösung 2

Aufgabenstellung

Nachdem die zwei Millionen Flaschen verkauft sind, wird die Werbeaktion fortgesetzt. Der Getränkehersteller verspricht, dass weiterhin jede $20.$ Flasche eine Gewinnmarke enthält. Aufgrund von Kundenäußerungen vermutet der Filialleiter eines Getränkemarkts jedoch, dass der Anteil der Saftschorle-Flaschen mit einer Gewinnmarke im Verschluss nun geringer als $0{,}05$ ist, und beschwert sich beim Getränkehersteller.

$2.$ Der Getränkehersteller bietet ihm an, anhand von $200$ zufällig ausgewählten Flaschen einen Signifikanztest für die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens $0{,}05$ .“ auf einem Signifikanzniveau von $1$ % durchzuführen. Für den Fall, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt, verspricht der Getränkehersteller, seine Abfüllanlage zu überprüfen und die Kosten für eine Sonderwerbeaktion des Getränkemarkts zu übernehmen.

Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich der Nullhypothese und bestimmen Sie anschließend unter der Annahme, dass im Mittel nur $3$ % der Saftschorle-Flaschen eine Gewinnmarke enthalten, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion kommt. (7 BE)

Lösung

Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Im ersten musst du den Ablehnungsbereich der Nullhypothese zum Signifikanzniveau $0{,}01$ herausfinden. Im zweiten Teil sollst du den Fehler 2. Art bestimmen, für den Fall, dass die Nullhypothese irrtümlich angenommen wird.

Ablehnungsbereich herausfinden

Zunächst definierst du dir die Zufallsgröße $Z$ aus der Aufgabenstellung:

$Z:$ Anzahl von Gewinnmarken unter $200$ Flaschen

Die Zufallsgröße $Z$ ist laut dem Getränkehersteller binomialverteilt mit dem Parameter $p\geq 0{,}05$ (Stichwort: Die Wahrscheinlichkeit einer Gewinnmarke beträgt mindestens $0{,}05$ ). Die Nullhypothese lautet deshalb:

$H_0: p \geq 0{,}05$

Beachte: Um den Fehler 1. Art (das Signifikanzniveau) sicher einzuhalten, wählt man implizit im Folgenden $H_0: p = 0{,}05$ .

Es soll gelten, dass die $B(200;0{,}05)$ -verteilte Zufallsgröße $Z$ mit höchstens der Wahrscheinlichkeit von $0{,}01$ im Ablehnungsbereich $A = \{0; \; \ldots;a\}$ liegt. Den Wert von $a$ musst du herausfinden. Diese Bedingung lautet mathematisch ausgedrückt:

\displaystyle P(Z \in A) \leq 0{,}01

Nun weißt du, dass $Z$ nach der Nullhypothese $B(200;0{,}05)$ verteilt ist. Es folgt also:

\displaystyle P(Z \in A) \leq 0{,}01

Mit Hilfe des Tafelwerks findest du heraus, dass $a = 3$ ist. Der Ablehnungsbereich lautet also $A = \{0; \; 1; \; 2; \;3\}$ .

Fehler 2. Art berechnen

Du liest nun aus der Aufgabenstellung, dass $Z$ nicht wie oben angenommen $B(200;0{,}05)$ verteilt ist, sondern tatsächlich $B(200;0{,}03)$ . Du möchtest jetzt wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Nullhypothese von oben trotzdem angenommen wird. Es folgt:

\displaystyle P(Z \in A) \leq 0{,}01

Den letzten Schritt erhältst du wieder mittels des Tafelwerkes.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Werbeaktion kommt, beträgt also ungefähr $85$ Prozent.

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