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1Lösung 2b

Aufgabenstellung

2.2. Nach einer aktuellen Erhebung leiden 2525 % der Einwohner Deutschlands an einer Allergie. Aus den Einwohnern Deutschlands werden nn Personen zufällig ausgewählt.

 

aa) Bestimmen Sie, wie groß nn mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 9999 % mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergie leidet. (4 BE)

bb) Im Folgenden ist n=200n=200. Die Zufallsgröße XX beschreibt die Anzahl der Personen unter den ausgewählten Personen, die an einer Allergie leiden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der binomialverteilten Zufallsgröße XX höchstens um eine Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht. (5 BE)

Lösung

Du entnimmst aus der Aufgabenstellung, dass XX die Wahrscheinlichkeitsfunktion B(200;0,25)B(200;0{,}25) hat.

 

Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass XX höchstens um eine Standardabweichung σX\sigma_X vom Erwartungswert E(X)E(X) abweicht. Mathematisch ausgedrückt:

 

Erwartungswert und Standardabweichung bestimmen

Für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße YY gilt E(Y)=npE(Y) = n\cdot p. Es folgt:

 

 

Für die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße YY gilt σY=np(1p)\sigma_Y = \sqrt{np(1-p)}. Es folgt:

 

σX=2000,250,75=37,56,1\sigma_X = \sqrt{200\cdot0{,}25\cdot 0{,}75} = \sqrt{37{,}5} \approx 6{,}1

Wahrscheinlichkeit ausrechnen

Du formst jetzt P(XE(X)σX)P(|X-E(X)|\leq \sigma_X) um, so dass du das Tafelwerk verwenden kannst.

 

Es gilt:

 

P(XE(X)σX)=P(σX+E(X)XσX+E(X))=P(XσX+E(X))P(X<E(X)σX)P(|X-E(X)|\leq \sigma_X) = P(-\sigma_X + E(X)\leq X\leq \sigma_X + E(X)) = P(X\leq \sigma_X + E(X)) - P(X\lt E(X) - \sigma_X)

 

Mit eingesetzten Werten also:

 

P(X56,1)P(X<43,9)=P(X56)P(X43)=0,85550,14380,71P(X\leq 56{,}1) - P(X\lt 43{,}9)=P(X\leq 56) - P(X\le 43) = 0{,}8555 - 0{,}1438 \approx 0{,}71.

 

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 7171 Prozent.


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