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2Lösung 3a

Aufgabenstellung

3.3. Ein Pharmaunternehmen hat einen Hauttest zum Nachweis einer Tierhaarallergie entwickelt. Im Rahmen einer klinischen Studie zeigt sich, dass der Hauttest bei einer aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählten Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 39,539{,}5 % ein positives Testergebnis liefert. Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 8585 % positiv. Das Testergebnis ist jedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 3535 % ebenfalls positiv.

aa) Ermitteln Sie, welcher Anteil der Bevölkerung Deutschlands demnach allergisch auf Tierhaare reagiert. (4 BE)

Lösung

Das Stichwort zu dieser Aufgabe ist das Baumdiagramm.

 

Zunächst musst du dir überlegen, welche beiden Ereignisse hier betrachtet werden. Man liest aus dem Text:

 

A:A: Person leidet an Tierhaarallergie.

 

B:B: Hauttest liefert positives Testergebnis.

 

Erstelle nun ein Baumdiagramm und trage die Wahrscheinlichkeiten aus dem Text dort ein.

  \;

 

P(B)=0,395P(B) = 0{,}395

 

PA(B)=0,85P_A(B) = 0{,}85

 

PA(B)=0,35P_{\overline{A}}(B) = 0{,}35

 

P(A)=pP(A) = p

Bild

Du möchtest den Wert pp der Wahrscheinlichkeit P(A)P(A) berechnen. Verwende dafür die zweite Pfadregel:

 

 

Aus dem Baumdiagramm kannst du dir die relevanten Wahrscheinlichkeiten rauslesen. Es folgt:

 

 

Stelle noch nach pp um. Du erhältst:

 

 

Antwort: Die Anteil der Bevölkerung mit Tierhaarallergie beträgt 99 Prozent.


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