1Lösung 1c

Aufgabenstellung

$1$Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktion $p: x \mapsto \; -0{,}2x^2+5$ mit Definitionsbereich $D_p=[-5;5]$

$a)$ Zeigen Sie, dass die Bedingungen I und II in diesem Modell erfüllt sind. Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft. (6 BE)

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand $d(x)$ der Graphenpunkte $P_x(x|p(x))$ vom Ursprung des Koordinatensystems.

$b)$Zeigen Sie, dass $d(x)=\sqrt{0{,}04x^4-x^2+25}$ gilt. (3 BE)

Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu M minimal ist. Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte $P_x$, für die $d(x)$ minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an. (5 BE)

Lösung

Es handelt sich um ein Extremwertproblem. Berechne daher die erste Ableitung.

$d'(x)=0{,}5\cdot(0{,}04x^4-x^2+25)^{-0{,}5}\cdot(0{,}16x^3-2x)=\frac{2\cdot(0{,}16x^3-2x)}{\sqrt{0{,}04x^4-x^2+25}}$

Finde die Extremstellen, indem du die Ableitung gleich $0$ setzt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}d'(x)&=& 0 \\\frac{2\cdot(0{,}16x^3-2x)}{\sqrt{0{,}04x^4-x^2+25}}&= &0 \\2\cdot(0{,}16x^3-2x)&= &0\\0{,}32x^3-4x&=& 0 \\x\cdot(0{,}32x^2-4)&= &0\end{array}$

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass man die einzelnen Faktoren $0$ setzen darf, um nach $x$ aufzulösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}x_1&=&0\\0{,}32x^2-4&=&0&|+4\\0{,}32x^2&=& 4 &|:0{,}32\\x^2&=&4:0{,}32&=12{,}5\\x_2&=&-\sqrt{12{,}5}&=-3{,}53…\\x_3&=&\sqrt{12{,}5}=&3{,}53…\end{array}$

Nun setzt man die erhaltenen $x$-Werte der Extremstellen in die Funktion $d(x)$ ein, um die zugehörigen Abstände zu erhalten und damit außerdem festzustellen, wo es sich um Minima handelt.

$d(0)=\sqrt{0{,}04\cdot0^4-0^2+25}=5\\d(-\sqrt{12{,}5})=\sqrt{0{,}04\cdot(-\sqrt{12{,}5})^4-(-\sqrt{12{,}5})^2+25}=4{,}33…\\d(\sqrt{12{,}5})=\sqrt{0{,}04\cdot(\sqrt{12{,}5})^4-(\sqrt{12{,}5})^2+25}=4{,}33…\\$

Damit sieht man, dass die Werte für $-\sqrt{12{,}5}$ und $\sqrt{12{,}5}$ kleiner sind als der von $x=0$. Damit sind die minimalen Abstände an den Stellen $x=-\sqrt{12{,}5}$ und $x=\sqrt{12{,}5}$ und betragen ca. $4{,}3m$.