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In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte A(633)A(6|3|3), B(363)B(3|6|3) und C(336)C(3|3|6) das gleichseitige Dreieck ABCABC fest.

a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck ABCABC liegt, in Normalform. (4 BE)

Spiegelt man die Punkte AA, BB und CC am Symmetriezentrum Z(333)Z(3|3|3), so erhält man die Punkte AA', BB' bzw. CC'.

b) Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte AA, BB und ZZ liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke [CC][CC'] senkrecht auf diese Ebene steht. (3 BE)

c) Begründen Sie, dass das Viereck ABABABA' B' ein Quadrat mit der Seitenlänge323\sqrt 2 ist. (4 BE)

Der Körper ABABCCABA'B'CC' ist ein sogenanntesOktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mitdem Quadrat ABABABA' B' als gemeinsamer Grundflächeund den Pyramidenspitzen CC bzw. CC'.

d) Weisen Sie nach, dass das Oktaederdas Volumen 36 VE36\ VE besitzt. (2 BE)

e) Bestimmen Sie die Größe des Winkelszwischen den Seitenflächen ABCABC undACBAC'B. (4 BE)

Bild

f) Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eineGleichung dieser Kugel an. Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen. (3 BE)