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Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Punkte Bn(x0,3x1)B_n(x|-0{,}3x-1) liegen auf der Geraden gg mit der Gleichung y=0,3x1y=-0{,}3x-1 mit G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}. Sie sind zusammen mit dem Punkt A(00)A(0|0) sowie Punkten CnC_n und DnD_n für x>0,84x>0{,}84 Eckpunkte von Drachenvierecken ABnCnDnAB_nC_nD_n mit den Diagonalenschnittpunkten MnM_n.

    Die Diagonalen [ACn][AC_n] der Drachenvierecke ABnCnDnAB_nC_nD_n liegen auf der Symmetrieachse hh mit der Gleichung y=23x (G=R×R)y=\frac23x~(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}). Es gilt: ACn=4AMn\overrightarrow{AC_n}=4\cdot\overrightarrow{AM_n}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie die Geraden gg und hh sowie die Drachenvierecke AB1C1D1AB_1C_1D_1 für x=3x=3 und AB2C2D2AB_2C_2D_2 für x=5x=5 in ein Koordinatensystem.

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm1~\text{cm}; 2x10; 3y8-2\le x\le 10;~-3\le y\le 8

    2. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte DnD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte BnB_n.

      [[Ergebnis: Dn(0,11x0,921,04x+0,38)]D_n(0{,}11x-0{,}92|1{,}04x+0{,}38)]

    3. Der Punkt D3D_3 liegt auf der y-Achse.

      Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B3B_3.

    4. Berechnen Sie die Koordinate der Punkte MnM_n und CnC_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte BnB_n.

      [[Ergebnis: Cn(2,24x1,841,48x1,24)]C_n(2{,}24x-1{,}84|1{,}48x-1{,}24)]

    5. Das Drachenviereck AB4C4D4AB_4C_4D_4 ist bei B4B_4 rechtwinklig.

      Berechnen Sie den zugehörigen Wert für xx.

    6. Die Seite [C5D5][C_5D_5] des Drachenvierecks AB5C5D5AB_5C_5D_5 verläuft parallel zur x-Achse.

      Begründen Sie, dass gilt: D5C5B5=67,38\sphericalangle D_5C_5B_5=67{,}38^\circ

  2. 2

    Das gleichschenklige Dreieck ABCABC ist die Grundfläche der Pyramide ABCSABCS.

    Der Punkt MM ist der Mittelpunkt der Basis [BC][BC]. Die Pyramidenspitze SS liegt senkrecht über dem Punkt MM.

    Es gilt: AM=9 cm; BC=12 cm; MS=10 cm\overline{AM}=9~\text{cm};~\overline{BC}=12~\text{cm};~\overline{MS}=10~\text{cm}

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCSABCS, wobei die Strecke [AM][AM] auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt MM liegen soll.

      Für die Zeichnung gilt: q=12; ω=45q=\frac12;~\omega=45^\circ

      Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [AS][AS] sowie das Maß des Winkels MASMAS.

      [[Ergebnisse: AS=13,45 cm; MAS=48,01]\overline{AS}=13{,}45~\text{cm};~\sphericalangle MAS=48{,}01^\circ]

    2. Auf der Strecke [AS][AS] liegen Punkte PnP_n. Die Winkel PnMAP_nMA haben das Maß φ\varphi mit φ]0;90[\varphi\in]0^\circ;90^\circ[.

      Die Dreiecke AMPnAMP_n sind die Grundflächen von Pyramiden AMPnCAMP_nC, deren Spitze der Punkt CC ist.

      Zeichnen Sie die Pyramide AMP1CAMP_1C für φ=65\varphi=65^\circ in die Zeichnung zur Teilaufgabe (a) ein.

    3. Berechnen Sie die Länge der Strecken [APn][AP_n] in Abhängigkeit von φ\varphi und zeigen Sie sodann, dass für das Volumen VV der Pyramide AMPnCAMP_nC in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      V(φ)=60,20sin(φ)sin(φ+48,01) cm3V(\varphi)=\dfrac{60{,}20\cdot\sin(\varphi)}{\sin(\varphi+48{,}01^\circ)}~\text{cm}^3

      [[Ergebnis: APn(φ)=9sin(φ)sin(φ+48,01) cm\overline{AP_n}(\varphi)=\dfrac{9\cdot\sin(\varphi)}{\sin(\varphi+48{,}01^\circ)}~\text{cm}

    4. Die Grundfläche der Pyramide AMP2CAMP_2C ist das rechtwinklige Dreieck AMP2AMP_2 mit der Hypotenuse [AM][AM].

      Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide AMP2CAMP_2C am Volumen der Pyramide ABCSABCS.

    5. Das gleichschenklige Dreieck ACP3ACP_3 mit der Basis [CP3][CP_3] ist eine Seitenfläche der Pyramide AMP3CAMP_3C.

      Berechnen Sie den zugehörigen Wert für φ\varphi.

    6. Begründen Sie, dass für das Volumen VV der Pyramiden AMPnCAMP_nC gilt: V90 cm3V\le90~\text{cm}^3.


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