Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Parabel $p$ mit dem Scheitel $S(4|-2)$ hat eine Gleichung der Form $y=0{,}25x^2+bx+c$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ und $b,c\in\mathbb{R}$ .
Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y=0{,}5x+2$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ .
1. Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel $p$ die Gleichung $y=0{,}25x^2-2x+2$ hat.
  Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x\in[-1;11]$ in ein Koordinatensystem ein.
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\text{cm}$ ; $-1\le x\le 11;~-3\le y\le 11$
2. Die Punkte $A(0|2)$ und $C(10|7)$ sind die Schnittpunkte der Parabel $p$ mit der Geraden $g$ . Sie sind zusammen mit Punkten $B_n(x|0{,}25x^2-2x+2)$ auf der Parabel $p$ Eckpunkte von Drachenvierecken $AB_nCD_n$ mit der Geraden $g$ als Symmetrieachse.
  Zeichnen Sie das Drachenviereck $AB_1CD_1$ für $x=6$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein und geben Sie das Intervall für $x$ an, für das es Drachenvierecke $AB_nCD_n$ gibt.
3. Zeigen Sie rechnerisch, dass das Drachenviereck $AB_1CD_1$ bei $B_1$ rechtwinklig ist.
4. Unter den Drachenvierecken $AB_nCD_n$ gibt es die Drachenvierecke $AB_2CD_2$ und $AB_3CD_3$ , bei denen die Eckpunkte $B_2$ und $B_3$ auf der x-Achse liegen.
  Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte $B_2$ und $B_3$ .
5. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt $A$ der Drachenvierecke $AB_nCD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ gilt:
  $A(x)=(-2{,}5x^2+25x)\;\text{FE}$
6. Unter den Drachenvierecken $AB_nCD_n$ gibt es die Raute $AB_4CD_4$ .
  Zeichnen Sie die Raute $AB_4CD_4$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.
  Ermitteln Sie sodann rechnerisch die Gleichung der Geraden $MB_4$ .
  $[$ Teilergebnis: $M(5|4{,}5)$ $]$
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Das rechtwinklige Dreieck $ABC$ mit der Hypotenuse $[BC]$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCDS$ (siehe Skizze).
Die Spitze $S$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ .
Es gilt: $\overline{AC}=10\;\text{cm};~\overline{AB}=7\;\text{cm};~\overline{AS}=9\;\text{cm}$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ , wobei die Strecke $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $C$ links vom Punkt $A$ liegen soll.
  Für die Zeichnung gilt: $q=0{,}5;~\omega=45°$ .
  Bestimmen Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecke $[CS]$ und das Maß $\epsilon=41{,}99°$ des Winkels $ACS$ . $[$ Ergebnisse: $\overline{CS}=13{,}45\;\text{cm};~\epsilon=41{,}99°$ $]$
2. Für Punkte $F_n$ auf der Strecke $[AC]$ gilt: $\overline{AF_n}(x)=x\;\text{cm}$ mit $x\in\mathbb{R}$ und $0<x<10$ . Die Punkte $F_n$ sind Eckpunkte von Rechtecken $AD_nE_nF_n$ mit $D_n\in[AB]$ und $E_n\in[BC]$ .
  Zeichnen Sie das Rechteck $AD_1E_1F_1$ für $x=4$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.
  Berechnen Sie sodann die Länge der Strecken $[E_nF_n]$ in Abhängigkeit von $x$ und ermitteln Sie rechnerisch den Wert für $x$ , für den man das Quadrat $AD_0E_0F_0$ erhält.
  $[$ Ergebnis: $[\overline{E_nF_n}(x)=(-0{,}7x+7)\;\text{cm}]$
3. Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $AD_nE_nF_n$ in Abhängigkeit von $x$ .
  Bestimmen Sie sodann den Wert für $x$ , für den der Flächeninhalt der Rechtecke $AD_nE_nF_n$ maximal wird.
4. Der Punkt $T$ liegt auf der Strecke $[CS]$ mit $\overline{TS}=2\;\text{cm}$ . $T$ ist die Spitze von Pyramiden $AD_nE_nF_nT$ mit den Rechtecken $AD_nE_nF_n$ als Grundflächen und der Höhe $h$ .
  Zeichnen Sie die Pyramide $AD_1E_1F_1T$ und der Höhe $h$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.
  Zeigen Sie sodann, dass gilt: $h=7{,}66\;\text{cm}$
5. Begründen Sie, dass für das Maß $\alpha$ der Winkel $TF_nC$ gilt: $\alpha<138{,}01°$ .
  Berechnen Sie anschließend die untere Intervallgrenze für $\alpha$ .
  $[$ Teilergebnis: $\overline{AT}=7{,}80\;\text{cm}]$

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