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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Trapeze AnBnCnDA_nB_nC_nD mit den parallelen Seiten [DCn][DC_n] und [AnBn][A_nB_n] rotieren um die Gerade SDSD.

    Es gilt:

    AnSDA_n\in SD; SD=3  cm\overline{SD}=3\;\text{cm}; AnBn=4  cmA_nB_n=4\;\text{cm}; BnAnD=90\sphericalangle B_nA_nD=90^{\circ}.

    Die Winkel DSCnDSC_n haben das Maß φ\varphi mit φ]0;53,13[\varphi\in ]0^{\circ};53{,}13^{\circ}[.

    Die Zeichnung zeigt das Trapez A1B1C1DA_1B_1C_1D für φ=25\varphi=25^{\circ}.

    Bild
    1. Zeichnen Sie in die Zeichnung zu A1.0A\,1.0 das Trapez A2B2C2DA_2B_2C_2D für φ=40\varphi=40^{\circ} ein.

      (1 Punkt)

    2. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Längen der Strecken [DCn][DC_n] und [SAn][SA_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: DCn(φ)=3tan(φ)  cm\overline{DC_n}(\varphi)=3 \cdot \text{tan}\,(\varphi)\;\text{cm} und SAn(φ)=4tan(φ)  cm\overline{SA_n}(\varphi)=\dfrac{4}{\text{tan}(\varphi)}\;\text{cm}.

      (2 Punkte)

    3. Bestätigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen VV der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      V(φ)=13π(64tan(φ)27tan2(φ))  cm3V(\varphi)=\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{64}{\tan(\varphi)}-27 \cdot \tan^2(\varphi)\right)\,\;\text{cm}^3.

      (2 Punkte)

  2. 2

    Die Punkte A(0,51)A(-0{,}5|1) und B(3,51)B(3{,}5|1) legen zusammen mit Pfeilen

    ACn(φ)=(8cos(φ)0,51cos(φ)+1)\overrightarrow{AC_n}(\varphi)=\begin{pmatrix}8\cdot \text{cos}(\varphi)-0{,}5 \\ \dfrac{1}{\text{cos}(\varphi)}+1\end{pmatrix} für φ[0;90[\varphi \in[0^{\circ};90^{\circ}[ Dreiecke ABCnABC_n fest.

    Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

    1. Berechnen Sie die Koordinaten der Pfeile AC1\overrightarrow{AC_1} für φ=40\varphi=40^\circ und AC2\overrightarrow{AC_2} für φ=80\varphi=80^\circ.

      Zeichnen Sie anschließend die Dreiecke ABC1ABC_1 und ABC2ABC_2 in das Koordinatensystem ein.

      vorgegebenes Koordinatensystem

      3 Punkte

    2. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte CnC_n in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: Cn(8cos(φ)1    1cos(φ)+2)C_n \left(8 \cdot \text{cos}(\varphi)-1\;|\;\dfrac{1}{\text{cos}(\varphi)}+2 \right).

      (1 Punkt)

    3. Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen der Punkte CnC_n.

      (2 Punkte)

    4. Unter den Dreiecken ABCnABC_n gibt es das gleichschenklige Dreieck ABC3ABC_3 mit der Basis [AB][AB].

      Ermitteln Sie das zugehörige Winkelmaß φ\varphi und begründen Sie durch Rechnung, dass das Dreieck ABC3ABC_3 nicht gleichseitig ist.

      (3 Punkte)

  3. 3

    Gegeben sind die Funktionen f1f_1 mit der Gleichung y=40,5xy=4\cdot 0{,}5^x und f2f_2 mit der Gleichung y=40,5x+23   (G=R×R)y=4\cdot 0{,}5^{x+2}-3~~~(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}). Punkte An(x40,5x)A_n(x|4\cdot 0{,}5^x) auf dem Graphen zu f1f_1 und Punkte Bn(x40,5x+23)B_n(x|4\cdot 0{,}5^{x+2}-3) auf dem Graphen zu f2f_2 haben dieselbe Abszisse xx. Die Strecken [AnBn][A_nB_n] sind für xRx\in\mathbb{R} die Basen von gleichschenkligen Dreiecken AnBnCnA_nB_nC_n.

    Für die Höhen [MnCn][M_nC_n] der Dreiecke AnBnCnA_nB_nC_n gilt: MnCn=3 LE\overline{M_nC_n}=3~\text{LE}

    Bild
    1. Zeichnen Sie das Dreieck A1B1C1A_1B_1C_1 für x=1x=1 in das Koordinatensystem ein.

    2. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken [AnBn][A_nB_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: AnBn(x)=(30,5x+3) LE\overline{A_nB_n}(x)=(3\cdot 0{,}5^x+3)~\text{LE}

    3. Das Dreieck A2B2C2A_2B_2C_2 hat einen Flächeninhalt von 15 FE15~\text{FE}.

      Berechnen Sie den zugehörigen Wert für xx.


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