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Gegenereignis

Das Gegenereignis A zu einem Ereignis A enthält alle Versuchsausgänge, die in A nicht enthalten sind.

Beim Werfen eines Würfels wäre A={5,6} das Gegenereignis zu A={1,2,3,4} (Augenzahl höchstens 4).

Darstellung der Mengen  und Gegenereignis  beim Werfen eines Würfels.

Darstellung der Mengen A={1,2,3,4} und Gegenereignis A={5,6} beim Werfen eines Würfels.

Das Gegenereignis allgemein

In unserem Beispiel war A={5,6} das Gegenereignis zu A={1,2,3,4}. Beide zusammen bilden den Ergebnisraum:

Ω={1,2,3,4,5,6}

Allgemein ist das Gegenereignis A immer die Teilmenge von Ω, die keine Elemente mit A gemeinsam hat. Damit bilden A und A zusammen immer Ω:

A  A=Ω
Darstellung der Mengen  und Gegenereignis  , die gemeinsam  bilden.

Darstellung der Mengen A und Gegenereignis A, die gemeinsam Ω bilden.

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses (Gegenwahrscheinlichkeit) berechnet man, indem man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von der Gesamtwahrscheinlichkeit (meist 1) abzieht. In einigen Fällen kann man sich so komplizierte Rechnungen sehr einfach machen.

P(A)=1P(A)

Beispiele zum Rechnen mit dem Gegenereignis

Beispiel 1

Zufallsexperiment: Ein Würfel wird einmal geworfen.

Ergebnisraum Ω={1;2;3;4;5;6}

Ereignis A

Der Würfel zeigt die Zahlen 1, 2, 3 oder 4, also A={1;2;3;4}

Wahrscheinlichkeit von A

P(A)=46=2367%

Gegenereignis A

Der Würfel zeigt die Zahlen 5 oder 6, also A={5;6}

Gegenwahrscheinlichkeit von A

P(A)=1P(A)=123=1333%

Darstellung der Mengen  und Gegenereignis  , die gemeinsam  bilden.

Darstellung der Mengen A und Gegenereignis A, die gemeinsam Ω bilden.

Beispiel 2

Zufallsexperiment: Ein Würfel wird zweimal geworfen. Man betrachtet die Summe der Augenzahlen der beiden Würfel.

Ergebnisraum Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

Ereignis A

Die Augensumme beträgt 10, also A={10}

Wahrscheinlichkeit von A

P(A)=P({(6,4);(5,5);(4,6)})=336=1128,3%

Gegenereignis A

Die Würfelsumme ist nicht 10, also A={2;3;4;5;6;7;8;9;11;12}

Gegenwahrscheinlichkeit von A

P(A)=1P(A)=1112=111291,7%

Vorsicht

Das Experiment ist kein Laplace-Experiment. Die Würfelsumme ergibt sich aus 36 verschiedenen Würfelkombinationen, wobei beispielsweise nur eine Kombination die Würfelsumme 2 ergibt und es 3 Kombinationen gibt, die die Würfelsumme 10 bilden.

Darstellung der Mengen  und Gegenereignis  , die gemeinsam  bilden.

Darstellung der Mengen A und Gegenereignis A, die gemeinsam Ω bilden.

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