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Gegenereignis

Darstellung der Mengen  und Gegenereignis  beim Werfen eines Würfels.

Darstellung der Mengen A={1,2,3,4}A=\left\{1{,}2,3{,}4\right\} und Gegenereignis A={5,6}\overline{A}=\left\{5{,}6\right\} beim Werfen eines Würfels.

Das Gegenereignis A\overline A zu einem Ereignis AA enthält alle Versuchsausgänge, die in AA nicht enthalten sind.

Beim Werfen eines Würfels wäre A={5,6}\overline{A}=\left\{5{,}6_{ }\right\} das Gegenereignis zu A={1,2,3,4}A=\left\{1{,}2,3{,}4\right\} (Augenzahl höchstens 44).

Das Gegenereignis allgemein

Darstellung der Mengen  und Gegenereignis  , die gemeinsam  bilden.

Darstellung der Mengen AA und Gegenereignis A\overline{A}, die gemeinsam Ω\Omega bilden.

In unserem Beispiel war A={5,6}\overline{A}=\left\{5{,}6\right\} das Gegenereignis zu A={1,2,3,4}A=\left\{1{,}2,3{,}4\right\}. Beide zusammen bilden den Ergebnisraum:

Allgemein ist das Gegenereignis A\overline{A} immer die Teilmenge von Ω\Omega, die keine Elemente mit AA gemeinsam hat. Damit bilden AA und A \overline{A}\ zusammen immer Ω\Omega:

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses (Gegenwahrscheinlichkeit) berechnet man, indem man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von der Gesamtwahrscheinlichkeit (meist 1) abzieht. In einigen Fällen kann man sich so komplizierte Rechnungen sehr einfach machen.

Beispiele zum Rechnen mit dem Gegenereignis

Beispiel 1

Zufallsexperiment: Ein Würfel wird einmal geworfen.

Ergebnisraum Ω={1;2;3;4;5;6}\Omega=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}

Ereignis AA

Der Würfel zeigt die Zahlen 1, 2, 3 oder 4, also A={1;2;3;4}A=\{1;2;3;4\}

Wahrscheinlichkeit von AA

P(A)=46=2367%P(A)=\frac 46 =\frac 23\approx 67\%

Gegenereignis A\overline A

Der Würfel zeigt die Zahlen 5 oder 6, also A={5;6}\overline A=\{5;6\}

Gegenwahrscheinlichkeit von AA

P(A)=1P(A)=123=1333%P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac 23=\frac 13\approx 33\%

Darstellung der Mengen  und Gegenereignis  , die gemeinsam  bilden.

Darstellung der Mengen AA und Gegenereignis A\overline{A}, die gemeinsam Ω\Omega bilden.

Beispiel 2

Zufallsexperiment: Ein Würfel wird zweimal geworfen. Man betrachtet die Summe der Augenzahlen der beiden Würfel.

Ergebnisraum Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}\Omega = \{2{,}3,4{,}5,6{,}7,8{,}9,10{,}11{,}12\}

Ereignis AA

Die Augensumme beträgt 1010, also A={10}A=\{10\}

Wahrscheinlichkeit von AA

P(A)=P({(6,4);(5,5);(4,6)})=336=1128,3%P(A)=P(\{(6{,}4);(5{,}5);(4{,}6)\})=\frac 3 {36} =\frac 1 {12}\approx 8{,}3\%

Gegenereignis A\overline A

Die Würfelsumme ist nicht 1010, also A={2;3;4;5;6;7;8;9;11;12}\overline A=\{2;3;4;5;6;7;8;9;11;12\}

Gegenwahrscheinlichkeit von AA

P(A)=1P(A)=1112=111291,7%P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac 1{12}=\frac {11}{12}\approx 91{,}7\%

Vorsicht

Das Experiment ist kein Laplace-Experiment. Die Würfelsumme ergibt sich aus 36 verschiedenen Würfelkombinationen, wobei beispielsweise nur eine Kombination die Würfelsumme 2 ergibt und es 3 Kombinationen gibt, die die Würfelsumme 10 bilden.

Darstellung der Mengen  und Gegenereignis  , die gemeinsam  bilden.

Darstellung der Mengen AA und Gegenereignis A\overline{A}, die gemeinsam Ω\Omega bilden.

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