Gegenereignis

Darstellung der Mengen $A=\left\{1{,}2,3{,}4\right\}$ und Gegenereignis $\overline{A}=\left\{5{,}6\right\}$ beim Werfen eines Würfels.

Das Gegenereignis $\overline A$ zu einem Ereignis $A$ enthält alle Versuchsausgänge, die in $A$ nicht enthalten sind.

Beim Werfen eines Würfels wäre $\overline{A}=\left\{5{,}6_{ }\right\}$ das Gegenereignis zu $A=\left\{1{,}2,3{,}4\right\}$ (Augenzahl höchstens $4$ ).

Das Gegenereignis allgemein

Darstellung der Mengen und Gegenereignis , die gemeinsam bilden. — Darstellung der Mengen $A$ und Gegenereignis $\overline{A}$ , die gemeinsam $\Omega$ bilden.

In unserem Beispiel war $\overline{A}=\left\{5{,}6\right\}$ das Gegenereignis zu $A=\left\{1{,}2,3{,}4\right\}$ . Beide zusammen bilden den Ergebnisraum:

\displaystyle \Omega=\left\{1{,}2,3{,}4,5{,}6\right\}

Allgemein ist das Gegenereignis $\overline{A}$ immer die Teilmenge von $\Omega$ , die keine Elemente mit $A$ gemeinsam hat. Damit bilden $A$ und $\overline{A}\$ zusammen immer $\Omega$ :

\displaystyle \Omega=\left\{1{,}2,3{,}4,5{,}6\right\}

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses (Gegenwahrscheinlichkeit) berechnet man, indem man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von der Gesamtwahrscheinlichkeit (meist 1) abzieht. In einigen Fällen kann man sich so komplizierte Rechnungen sehr einfach machen.

\displaystyle \Omega=\left\{1{,}2,3{,}4,5{,}6\right\}

Beispiele zum Rechnen mit dem Gegenereignis

Beispiel 1

Zufallsexperiment: Ein Würfel wird einmal geworfen.

Ergebnisraum $\Omega=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$

Ereignis $A$	Der Würfel zeigt die Zahlen 1, 2, 3 oder 4, also $A=\{1;2;3;4\}$
Wahrscheinlichkeit von $A$	$P(A)=\frac 46 =\frac 23\approx 67\%$
Gegenereignis $\overline A$	Der Würfel zeigt die Zahlen 5 oder 6, also $\overline A=\{5;6\}$
Gegenwahrscheinlichkeit von $A$	$P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac 23=\frac 13\approx 33\%$

Beispiel 2

Zufallsexperiment: Ein Würfel wird zweimal geworfen. Man betrachtet die Summe der Augenzahlen der beiden Würfel.

Ergebnisraum $\Omega = \{2{,}3,4{,}5,6{,}7,8{,}9,10{,}11{,}12\}$

Ereignis $A$	Die Augensumme beträgt $10$ , also $A=\{10\}$
Wahrscheinlichkeit von $A$	$P(A)=P(\{(6{,}4);(5{,}5);(4{,}6)\})=\frac 3 {36} =\frac 1 {12}\approx 8{,}3\%$
Gegenereignis $\overline A$	Die Würfelsumme ist nicht $10$ , also $\overline A=\{2;3;4;5;6;7;8;9;11;12\}$
Gegenwahrscheinlichkeit von $A$	$P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac 1{12}=\frac {11}{12}\approx 91{,}7\%$

Vorsicht

Das Experiment ist kein Laplace-Experiment. Die Würfelsumme ergibt sich aus 36 verschiedenen Würfelkombinationen, wobei beispielsweise nur eine Kombination die Würfelsumme 2 ergibt und es 3 Kombinationen gibt, die die Würfelsumme 10 bilden.

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