Um eine Ebene in Parameterform in die entsprechende Normalform umzuwandeln, berechnet man den zugehörigen Normalenvektor n ⃗ \vec n n a ⃗ \vec a a
Weitere Darstellungswechsel E : x ⃗ = a ⃗ + λ ⋅ u ⃗ + μ ⋅ v ⃗ E:\vec{x}=\vec{a}+\lambda \cdot \vec{u}+\mu \cdot \vec{v} E : x = a + λ ⋅ u + μ ⋅ v
E : n ⃗ ∘ [ x ⃗ − a ⃗ ] = 0 E:\vec{n}\circ\left[\vec{x}-\vec{a}\right]=0 E : n ∘ [ x − a ] = 0
Vorgehen am Beispiel Ausgehend von einer Ebene E E E
E : x ⃗ = ( 1 2 4 ) + λ ⋅ ( 0 1 1 ) + μ ⋅ ( 1 0 1 ) \displaystyle E:\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} E : x = 1 2 4 + λ ⋅ 0 1 1 + μ ⋅ 1 0 1 wird der Normalenvektor n ⃗ \vec{n} n
n ⃗ = ( 0 1 1 ) × ( 1 0 1 ) = ( 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 0 1 ⋅ 1 − 0 ⋅ 1 0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1 ) = ( 1 1 − 1 ) \displaystyle \vec n=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1-1\cdot0\\1\cdot1-0\cdot1\\0\cdot0-1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} n = 0 1 1 × 1 0 1 = 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 0 1 ⋅ 1 − 0 ⋅ 1 0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1 = 1 1 − 1 Für den Vektor a ⃗ \vec{a} a
a ⃗ = ( 1 2 4 ) \displaystyle \vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix} a = 1 2 4 Die Vektoren n ⃗ \vec{n} n a ⃗ \vec{a} a
E : n ⃗ ∘ [ x ⃗ − a ⃗ ] = 0 \displaystyle E:\vec n\circ\left[\vec x-\vec a\right]=0 E : n ∘ [ x − a ] = 0 E : ( 1 1 − 1 ) ∘ [ ( x 1 x 2 x 3 ) − ( 1 2 4 ) ] = 0 \displaystyle E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}\right]=0 E : 1 1 − 1 ∘ x 1 x 2 x 3 − 1 2 4 = 0 Übungsaufgaben: Ebene von Parameterform in Normalform umwandeln Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:Aufgaben zur Umwandlung der Ebenendarstellung
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