Ebene von Parameterform in Normalform umwandeln

Um eine Ebene in Parameterform in die entsprechende Normalform umzuwandeln, berechnet man den zugehörigen Normalenvektor $\vec n$ , wählt einen beliebigen in der Ebene liegenden Punkt mit Richtungsvektor $\vec a$ und setzt beide Vektoren in die allgemeine Normalform ein.

Weitere Darstellungswechsel

Parameterform	Normalform
$E:\vec{x}=\vec{a}+\lambda \cdot \vec{u}+\mu \cdot \vec{v}$	$E:\vec{n}\circ\left[\vec{x}-\vec{a}\right]=0$

Vorgehen am Beispiel

Ausgehend von einer Ebene $E$ in Parameterform

\displaystyle E:\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}

wird der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene als Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren berechnet:

\displaystyle \vec n=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1-1\cdot0\\1\cdot1-0\cdot1\\0\cdot0-1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}

Für den Vektor $\vec{a}$ aus der Normalenform wird der Ortsvektor eines beliebigen Punktes in der Ebene gewählt. Der Aufpunkt ist hierbei die einfachste Wahl.

\displaystyle \vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}

Die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ können in die allgemeine Normalform eingesetzt werden:

\displaystyle E:\vec n\circ\left[\vec x-\vec a\right]=0

\displaystyle E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}\right]=0

Übungsaufgaben: Ebene von Parameterform in Normalform umwandeln

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