Ebene von Parameterform in Koordinatenform umwandeln

Um eine Ebene von Parameterform in die entsprechende Koordinatenform umzuwandeln, muss man nacheinander folgende Umwandlungen vornehmen:

Parameterform	Koordinatenform
$E : \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{b} + l \cdot \vec{c}$	$E : a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3} - b = 0$

Vorgehen am Beispiel

E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}) + k (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + l (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

Parameterform in entsprechende Normalform umwandeln, hierzu berechne den Normalenvektor $\vec{n} .$

\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})

\Rightarrow E : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array})] = 0

E : x_{1} + x_{2} - x_{3} + 1 = 0

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Aufgaben zur Umwandlung der Ebenendarstellung

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