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Ebene von Normalform in Parameterform umwandeln

Um eine Ebene in Normalform in die entsprechende Parameterform umzuwandeln, muss man nacheinander folgende Umwandlungen vornehmen:

  1. Parameterform nach Koordinatenform

  2. Parameterform nach Normalform

Weitere Darstellungswechsel

Normalform

Parameterform

E:n⃗∘[x⃗−a⃗]=0E:\vec{n}\circ\left[\vec{x}-\vec{a}\right]=0

E:x⃗=a⃗+k⋅b⃗+l⋅c⃗E:\vec x=\vec a+k\cdot\vec b+l\cdot\vec c

Vorgehen am Beispiel

  • Normalform der Ebene E

E:(11−1)∘[(x1x2x3)−(001)]=0\displaystyle E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0
E:(11−1)∘(x1x2x3)−(11−1)∘(001)=0\displaystyle E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=0

⇒E:1⋅x1+1⋅x2+(−1)⋅x3−(1⋅0+1⋅0+(−1)⋅1)=x1+x2−x3+1=0\Rightarrow E:1\cdot x_1+1\cdot x_2+\left(-1\right)\cdot x_3-\left(1\cdot0+1\cdot0+\left(-1\right)\cdot1\right)=x_1+x_2-x_3+1=0

oder

E:x1+x2−x3=−1\displaystyle E:x_1+x_2-x_3=-1

  • Koordinatenform in entsprechende Parameterform umwandeln. Artikel zum Thema

  • Parameterform der Ebene E

E:x⃗=(001)+k(011)+l(101)\displaystyle E:\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+l\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Umwandlung der Ebenendarstellung

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