Ebene von Normalform in Parameterform umwandeln

Um eine Ebene in Normalform in die entsprechende Parameterform umzuwandeln, muss man nacheinander folgende Umwandlungen vornehmen:

Normalform	Parameterform
$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0$	$E : \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{b} + l \cdot \vec{c}$

Vorgehen am Beispiel

E : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0

E : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = 0

$\Rightarrow E : 1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + (- 1) \cdot x_{3} - (1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (- 1) \cdot 1) = x_{1} + x_{2} - x_{3} + 1 = 0$

oder

E : x_{1} + x_{2} - x_{3} = - 1

E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + k (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + l (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

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Aufgaben zur Umwandlung der Ebenendarstellung

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