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Ebene von Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Um eine Ebene in Koordinatenform in die entsprechende Parameterform umzuwandeln, setzt man 

x1=0+k⋅1+l⋅0,    x2=0+k⋅0+l⋅1,\displaystyle x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,

löst die Ebenengleichung nach x3x_3 auf, und schreibt schließlich x1,  x2  und  x3x_1,\;x_2\;\mathrm{und}\;x_3  passend so übereinander, dass sich die gesuchte Parameterform leicht ablesen lässt.

Einschränkung: das geht so nur, wenn x3x_3 in der Koordinatenform vorkommt. Falls das nicht der Fall ist, aber z.B. x2x_2 vorkommt, vertausche die Rollen von x2x_2 und x3x_3 im Text oben.

Weitere Darstellungswechsel

Koordinatenform

Parameterform

E:a1x1+a2x2+a3x3−b=0E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0

E:x⃗=a⃗+k⋅b⃗+l⋅c⃗E:\vec x=\vec a+k\cdot\vec b+l\cdot\vec c

Vorgehen Beispiel 1

  • Koordinatenform der Ebene E

E:2x1+4x2−2x3+6=0\displaystyle E:2x_1+4x_2-2x_3+6=0

  • Ebenengleichung nach  x3x_3 auflösen und den erhaltenen Term so sortieren, dass die Zahl von  x1  und  x2x_1\;\mathrm{und}\;x_2  gefolgt wird

x3=3+x1+2x2\displaystyle x_3=3+x_1+2x_2

  • In der erhaltenen Gleichung x1x_1 durch k und x2x_2 durch l ersetzen

x1=k\displaystyle x_1=k
x2=l\displaystyle x_2=l
x3=3+k+2⋅l\displaystyle x_3=3+k+2\cdot l

  • x1,  x2  und  x3x_1,\;x_2\;\mathrm{und}\;x_3  passend übereinander schreiben

x1=0+1⋅k+0⋅lx2=0+0⋅k+1⋅lx3=3+1⋅k+2⋅l\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccc}x_1&=&0&+&1\cdot k&+&0\cdot l\\x_2&=&0&+&0\cdot k&+&1\cdot l\\x_3&=&3&+&1\cdot k&+&2\cdot l\end{array}

  • Parameterform der Ebene E

E:x→=(003)+k⋅(101)+l⋅(012)\displaystyle E:\overrightarrow x=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+l\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}

Vorgehen Beispiel 2

Ist eine Koordinate nicht enthalten, dann kann man „⁣0⋅Koordinate0\cdot Koordinate⁣“ ergänzen.

  • Koordinatenform der Ebene E

E:  x1−2x3+4=0\displaystyle E:\ \ x_1-2x_3+4=0

  • ergänzen zu:

E:  x1+0x2−2x3+4=0\displaystyle E:\ \ x_1+0x_2-2x_3+4=0

  • Ebenengleichung nach x3x_3 auflösen und den so erhaltenen Term so sortieren, dass die Zahl von x1  und  x2x_1\;\mathrm{und}\;x_2  gefolgt wird

x3=2+x12+0⋅x2\displaystyle x_3=2+\frac{x_1}{2}+0\cdot x_2

  • In der erhaltenen Gleichung x1x_1 durch k und x2x_2 durch l ersetzen

x1=k\displaystyle x_1=k
x2=l\displaystyle x_2=l
x3=2+12⋅k+0⋅l\displaystyle x_3=2+\frac{1}{2}\cdot k+0\cdot l

  • x1x_1, x2x_2  und  x3x_3  passend übereinander schreiben

x1=0+1⋅k+0⋅lx2=0+0⋅k+1⋅lx3=2+12⋅k+0⋅l\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccc}x_1&=&0&+&1\cdot k&+&0\cdot l\\x_2&=&0&+&0\cdot k&+&1\cdot l\\x_3&=&2&+& \frac{1}{2} \cdot k&+&0\cdot l\end{array}

  • Parameterform der Ebene E

E:x→=(002)+k⋅(1012)+l⋅(010)\displaystyle E:\overrightarrow x=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}+l\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}

Vorgehen am Beispiel 3

Ist in der Koordinatenform der Ebene kein x3x_3 enthalten, formt man nach einer enthaltenen Koordinate um. Die nicht enthaltenen Koordinaten ergänzt man mit „⁣0⋅Koordinate0\cdot Koordinate“.

  • Koordinatenform der Ebene E

E:  x1+2=0\displaystyle E:\ \ x_1+2=0

  • ergänzen zu:

E:  x1+0x2+0x3+2=0\displaystyle E:\ \ x_1+0x_2+0x_3+2=0

  • Ebenengleichung nach x1x_1 auflösen.

x1=−2−0x2−0x3\displaystyle x_1=-2-0x_2-0x_3

  • In der erhaltenen Gleichung x2x_2 durch k und x3x_3 durch l ersetzen

x1=2+0⋅k+0⋅l\displaystyle x_1=2+0\cdot k+0\cdot l
x2=k\displaystyle x_2=k
x3=l\displaystyle x_3=l

  • x1x_1, x2x_2  und  x3x_3  passend übereinander schreiben

x1=−2+0⋅k+0⋅lx2=0+1⋅k+0⋅lx3=0+0⋅k+1⋅l\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccc}x_1&=&-2&+&0\cdot k&+&0\cdot l\\x_2&=&0&+&1\cdot k&+&0\cdot l\\x_3&=&0&+& 0 \cdot k&+&1\cdot l\end{array}

  • Parameterform der Ebene E

E:x→=(−200)+k⋅(010)+l⋅(001)\displaystyle E:\overrightarrow x=\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\ 0\end{pmatrix}+l\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Umwandlung der Ebenendarstellung

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