Aufgaben zur Umwandlung der Ebenendarstellung
Lerne mit diesen Aufgaben, die Darstellungsformen von Ebenen umzuwandeln. Schaffst du sie alle?
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Wandle die folgenden Ebenen von Parameterform in Normalenform um.
E:x=103+λ⋅−12−2+μ⋅121
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
n=−12−2×121=6−1−4
Wähle den Punkt A mit dem Ortsvektor a=103 als Aufpunkt der Ebene.
E:n∘[x−a]=0
Setze n und a ein.
E:6−1−4∘x1x2x3−103=0
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:x=012+λ⋅321+μ⋅−102
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
n=321×−102=4−72
Wähle den Punkt A mit dem Ortsvektor a=012 als Aufpunkt der Ebene.
E:n∘[x−a]=0
E:4−72∘x1x2x3−012=0
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:x=λ⋅103+μ⋅−120
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
n=103×−120=−6−32
Wähle den Punkt Koordinatenursprung als Aufpunkt der Ebene.
E:n∘[x−0]=0
E:−6−32∘x1x2x3−000=0
⇔E:−6−32∘x1x2x3=0
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:x=11−1+λ⋅012+μ⋅−120
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
n=012×−120=−4−21
Wähle den Punkt A mit dem Ortsvektor a=11−1 als Aufpunkt der Ebene.
E:n∘[x−a]=0
Setze n und a ein.
E:−4−21∘x1x2x3−11−1=0
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E:x=312+λ⋅−12−1+μ⋅121
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
n=−12−1×121=40−4
Klammere 41 aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.
⇒n=10−1
Wähle den Punkt A mit dem Ortsvektor a=312 als Aufpunkt der Ebene.
E:n∘[x−a]=0
Setze n und a ein.
E:10−1∘x1x2x3−312=0
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E:x=222+λ⋅30−1+μ⋅102
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
(Hinweis: Die Ebene ist parallel zur x1x3−Ebene)
n = 30−1×102 = 0−70 = Klammere −7 aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.
⇒n=010
Wähle den Punkt A mit dem Ortsvektor a=222 als Aufpunkt der Ebene.
E:n∘[x−a]=0
Setze n und a ein.
E:010∘x1x2x3−222=0
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E:x=40800+λ⋅−20−2010+μ⋅151020
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als
Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
n=−20−2010×151020=−500550100
Klammere 50 aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.
⇒n=−10112
Alternative: Meistens ist es einfacher, zuerst die
Richtungsvektoren der Ebene zu vereinfachen
und dann erst das Kreuzprodukt zu berechnen.
Klammere im ersten Richtungsvektor 10 und im zweiten Richtungsvektor 5 aus.
n=−2−21×324=−10112
Wähle den Punkt A mit dem Ortsvektor a=40800
als Aufpunkt der Ebene.
E:n∘[x−a]=0
Setze n und a ein.
E:−10112∘x1x2x3−40800=0
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- 2
Wandle die folgenden Ebenen von Normalenform in Koordinatenform um.
E:6−1−4∘x1x2x3−103=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Musterbeispiel
E:6−1−4∘x1x2x3−103=0
Multipliziere die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus und berechne das Skalarprodukt.
E:6x1−6−x2−4x3+12=0
Fasse zusammen.
E:6x1−x2−4x3+6=0
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E:4−72∘x1x2x3−012=0
E:4−72∘x1x2x3−012=0
Berechne zunächst das Skalarprodukt :
E:4⋅x1+(−7)⋅(x2−1)+2⋅(x3−2)=0
Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
E:4x1−7x2+7+2x3−4=0
Fasse zusammen:
E:4x1−7x2+2x3+3=0
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E:−6−32∘x1x2x3=0
E:−6−32∘x1x2x3=0
Der zweite Faktor enthält keine Differenz. Berechne daher nur das Skalarprodukt :
E:−6x1−3x2+2x3=0∣⋅(−1)
E:−6x1+3x2−2x3=0
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E:−4−21∘x1x2x3−11−1=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Musterbeispiel
E:−4−21∘x1x2x3−11−1=0
Berechne das Skalarprodukt :
E:−4⋅(x1−1)+(−2)⋅(x2−1)+1⋅(x3+1)=0
Multipliziere die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
E:−4x1+4−2x2+2+x3+1=0
Fasse zusammen:
E:−4x1−2x2+x3+7=0
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E:10−1∘x1x2x3−312=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Musterbeispiel
E:10−1∘x1x2x3−312=0
Berechne das Skalarprodukt :
E:1⋅(x1−3)+(−1)⋅(x3−2)=0
Multipliziere die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
E:x1−3−x3+2=0
Fasse zusammen:
E:x1−x3−1=0
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E:010∘x1x2x3−222=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Musterbeispiel
E:010∘x1x2x3−222=0
Berechne das Skalarprodukt :
E:1⋅(x2−2)=0
E:x2−2=0
(Hinweis: Die Ebene ist parallel zur x1−x3−Ebene )
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E:−500550100∘x1x2x3−40800=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Musterbeispiel
E:−500550100∘x1x2x3−40800=0
Berechne das Skalarprodukt .
E:−500⋅(x1−40)+550⋅(x2−80)+100⋅x3=0
Multipliziere die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus.
E:−500x1+20000+550x2−44000+100x3=0
Fasse zusammen.
E:−500x1+550x2+100x3−24000=0
Um die Gleichung noch zu vereinfachen, kann man sie auf beide Seiten durch 50 dividieren.
E:−10x1+11x2+2x3−480=0
Alternative Lösung:
Meistens ist es einfacher, zuerst den Normalenvektor der Ebene zu vereinfachen und dann erst das Skalarprodukt zu berechnen.
Klammere 50 im Normalenvektor aus, teile durch 50 und berechne dann das Skalarprodukt:
E:−101122∘x1x2x3−40800=0
Multipliziere die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
E:−10⋅(x1−40)+11⋅(x2−80)+2⋅x3=0
Multipliziere die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
E:−10x1+400+11x2−880+2x3=0
Fasse zusammen.
E:−10x1+11x2+2x3−480=0
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- 3
Wandle die folgenden Ebenen von Koordinatenform in Parameterform um.
E:2x1−x2+3x3−5=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenendarstellung
Löse die Ebenengleichung nach x3 auf:
x3=−32x1+31x2+35
Ersetze x1 durch λ und x2 durch μ .
x3=−32λ+31μ+35
Schreibe x1, x2 und x3 passend übereinander.
x1=0+1⋅λ+0⋅μx2=0+0⋅λ+1⋅μx3=35−32⋅λ+31⋅μ
Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.
E:x=0035+λ⋅10−32+μ⋅0131
Die beiden Richtungsvektoren können noch mit 3 multipliziert werden.
E:x=0035+λ⋅30−2+μ⋅031
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E:−x1+2x2+4x3=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenendarstellung
Löse die Ebenengleichung nach x3 auf:
x3=41x1−21x2
Ersetze x1 durch λ und x2 durch μ .
x3=41λ−21μ
Schreibe x1, x2 und x3 passend übereinander.
x1=0+1⋅λ+0⋅μx2=0+0⋅λ+1⋅μx3=0+41⋅λ−21⋅μ
Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.
E:x=000+λ⋅1041+μ⋅01−21
Die beiden Richtungsvektoren können noch mit 4 bzw. 2 multipliziert werden.
E:x=000+λ⋅401+μ⋅02−1
E:x=λ⋅401+μ⋅02−1
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E:3x1+4x3−5=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenendarstellung
Löse die Ebenengleichung nach x3 auf:
x3=−43x1+45
Ersetze x1 durch λ und setze x2=μ.
x3=−43λ+45
Schreibe x1, x2 und x3 passend übereinander.
x1=0+1⋅λ+0⋅μx2=0+0⋅λ+1⋅μx3=45−43⋅λ+0⋅μ
Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.
E:x=0045+λ⋅10−43+μ⋅010
Die erste Richtungsvektor kann noch mit 4 multipliziert werden.
E:x=0045+λ⋅40−3+μ⋅010
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E:2x1+3x2−1=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenendarstellung
Die Ebenengleichung kann nicht nach x3 aufgelöst werden. Löse deshalb nach x2 auf:
x2=−32x1+31
Ersetze x1 durch λ und setze x3=μ.
x2=−32λ+31
Schreibe x1, x2 und x3 passend übereinander.
x1=0+1⋅λ+0⋅μx2=31−32λ+0⋅μx3=0+0⋅λ+1⋅μ
Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.
E:x=0310+λ⋅1−320+μ⋅001
Die erste Richtungsvektor kann noch mit 3 multipliziert werden.
E:x=0310+λ⋅3−20+μ⋅001
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E:2x2−3=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenendarstellung
Die Ebenengleichung kann nicht nach x3 aufgelöst werden. Löse deshalb nach x2 auf:
x2=23
Setze x1=λ und x3=μ und schreibe x1, x2 und x3 passend übereinander.
x1=0+1⋅λ+0⋅μx2=23+0⋅λ+0⋅μx3=0+0⋅λ+1⋅μ
Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.
E:x=0230+λ⋅100+μ⋅001
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