Ebene von Parameterform in Normalform umwandeln

Um eine Ebene in Parameterform in die entsprechende Normalform umzuwandeln, berechnet man den zugehörigen Normalenvektor $\vec{n}$ , wählt einen beliebigen in der Ebene liegenden Punkt mit Richtungsvektor $\vec{a}$ und setzt beide Vektoren in die allgemeine Normalform ein.

Weitere Darstellungswechsel

Parameterform	Normalform
$E : \vec{x} = \vec{a} + λ \cdot \vec{u} + μ \cdot \vec{v}$	$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0$

Vorgehen am Beispiel

Ausgehend von einer Ebene $E$ in Parameterform

E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

wird der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene als Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren berechnet:

\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})

Für den Vektor $\vec{a}$ aus der Normalenform wird der Ortsvektor eines beliebigen Punktes in der Ebene gewählt. Der Aufpunkt ist hierbei die einfachste Wahl.

\vec{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array})

Die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ können in die allgemeine Normalform eingesetzt werden:

E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0

E : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array})] = 0

Übungsaufgaben

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