Ebene von Koordinatenform in Normalform umwandeln

Um eine Ebene von Koordinatenform in die entsprechende Normalform umzuwandeln, liest man die Einträge des Normalenvektors $\vec{n}$ aus den Koeffizienten der Koordinaten $x_{1}, x_{2}$ und $x_{3}$ in der Koordinatenform ab und wählt die Einträge von $\vec{a}$ als die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der die Koordinatengleichung erfüllt.

Weitere Darstellungswechsel

Koordinatenform	Normalform
$E : a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3} - b = 0$	$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0$

Vorgehen am Beispiel

Koordinatenform der Ebene E

E : x_{1} + x_{2} - x_{3} + 1 = 0

Einträge des Normalenvektors bestimmen
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.

E : 1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + (- 1) \cdot x_{3} + 1 = 0

\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})

Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $\vec{a}$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen, z. B.:

\vec{a} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

$\vec{n} und \vec{a}$ in die allgemeine Normalform einsetzen

\vec{a} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}), \vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}), E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0

Normalform der Ebene E

E : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0

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