Ebene von Normalform in Koordinatenform umwandeln

Um eine Ebene in Normalform in die entsprechende Koordinatenform umzuwandeln, multipliziert man das vorliegende Skalarprodukt aus und fasst den erhaltenen Term zusammen.

Weitere Darstellungswechsel

Normalform	Koordinatenform
$E:\vec{n}\circ\left[\vec{x}-\vec{a}\right]=0$	$E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$

Vorgehen am Beispiel

Ausgehend von einer Ebene $E$ in Normalform

\displaystyle E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0

wird das Skalarprodukt mithilfe des Distributivgesetzes ausgeführt:

\displaystyle E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0

\displaystyle E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0

Zusammenfassen liefert die Koordinatenform der Ebene $E$ :

\displaystyle E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0

Übungsaufgaben

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