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Ebene von Normalform in Koordinatenform umwandeln

Um eine Ebene in Normalform in die entsprechende Koordinatenform umzuwandeln, multipliziert man das vorliegende Skalarprodukt aus und fasst den erhaltenen Term zusammen.

Normalform

Koordinatenform

E:n⃗∘[x⃗−a⃗]=0E:\vec{n}\circ\left[\vec{x}-\vec{a}\right]=0

E:a1x1+a2x2+a3x3−b=0E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0

Vorgehen am Beispiel

Ausgehend von einer Ebene EE in Normalform

E:(11−1)∘[(x1x2x3)−(001)]=0\displaystyle E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0

wird das Skalarprodukt mithilfe des Distributivgesetzes ausgeführt:

E:(11−1)∘(x1x2x3)−(11−1)∘(001)=0\displaystyle E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=0
E:1⋅x1+1⋅x2+(−1)⋅x3−(1⋅0+1⋅0+(−1)⋅1)=0\displaystyle E:1\cdot x_1+1\cdot x_2+\left(-1\right)\cdot x_3-\left(1\cdot0+1\cdot0+\left(-1\right)\cdot1\right)=0

Zusammenfassen liefert die Koordinatenform der Ebene EE:

E:x1+x2−x3+1=0\displaystyle E:x_1+x_2-x_3+1=0

Übungsaufgaben

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Aufgaben zur Umwandlung der Ebenendarstellung

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