Um eine Ebene in Normalform in die entsprechende Koordinatenform umzuwandeln, multipliziert man das vorliegende Skalarprodukt aus und fasst den erhaltenen Term zusammen.
Weitere Darstellungswechsel E : n ⃗ ∘ [ x ⃗ − a ⃗ ] = 0 E:\vec{n}\circ\left[\vec{x}-\vec{a}\right]=0 E : n ∘ [ x − a ] = 0
E : a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 − b = 0 E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0 E : a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 − b = 0
Vorgehen am Beispiel Ausgehend von einer Ebene E E E
E : ( 1 1 − 1 ) ∘ [ ( x 1 x 2 x 3 ) − ( 0 0 1 ) ] = 0 \displaystyle E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0 E : 1 1 − 1 ∘ x 1 x 2 x 3 − 0 0 1 = 0 wird das Skalarprodukt mithilfe des Distributivgesetzes ausgeführt:
E : ( 1 1 − 1 ) ∘ ( x 1 x 2 x 3 ) − ( 1 1 − 1 ) ∘ ( 0 0 1 ) = 0 \displaystyle E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=0 E : 1 1 − 1 ∘ x 1 x 2 x 3 − 1 1 − 1 ∘ 0 0 1 = 0 E : 1 ⋅ x 1 + 1 ⋅ x 2 + ( − 1 ) ⋅ x 3 − ( 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 + ( − 1 ) ⋅ 1 ) = 0 \displaystyle E:1\cdot x_1+1\cdot x_2+\left(-1\right)\cdot x_3-\left(1\cdot0+1\cdot0+\left(-1\right)\cdot1\right)=0 E : 1 ⋅ x 1 + 1 ⋅ x 2 + ( − 1 ) ⋅ x 3 − ( 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 + ( − 1 ) ⋅ 1 ) = 0 Zusammenfassen liefert die Koordinatenform der Ebene E E E
E : x 1 + x 2 − x 3 + 1 = 0 \displaystyle E:x_1+x_2-x_3+1=0 E : x 1 + x 2 − x 3 + 1 = 0 Übungsaufgaben: Ebene von Normalform in Koordinatenform umwandeln Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:Aufgaben zur Umwandlung der Ebenendarstellung
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