In diesem Kurs lernst du, was eine Koordinatenform einer Ebene ist und wie man eine solche Gleichung aufstellt.

Du benötigst folgendes Vorwissen:

• Skalarprokt

• Vektorprodukt

• Normalenvektor

• Parameterform von Ebenen

Bisher hast du Ebenen immer in der Parameterdarstellung betrachtet. Das heißt, du hattest:

• einen Aufpunkt

• und von diesem aus bist du mit zwei Richtungsvektoren in die Richtungen gegegangen.

Die Parameterform ist recht anschaulich, wenn man sich die Ebene direkt im Kopf vorstellen möchte. Aber wenn du mit der Parameterform zu rechnen anfängst, wird es relativ schnell sehr unübersichtlich. Um mit einer Ebene gut rechnen und hantieren zu können, gibt es zusätzliche Darstellungsformen, die im Folgenden eingeführt und erklärt werden.

Die Parameterform (also die erste Variante zur Darstellung einer Ebene) kennst du bereits. Sie besteht aus einem Aufpunkt und zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren.

Die allgemeine Darstellung für eine Ebene $EE$ und zwei Richtungsvektoren $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ und $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ schaut wie folgt aus:

Die gezeigte Parameterform eignet sich als eine erste anschauliche Darstellungsmöglichkeit von Ebenen. Sobald du jedoch damit rechnen möchtest, wird sich diese Darstellungsform sehr schnell als sehr umständlich entpuppen. Dies wirst du bei späteren Themenbereichen noch sehen.

Im folgenden kannst du zwei Geogebra-Appelts folgen, wenn du noch einmal die Parameterform der Ebene wiederholen möchtest. In beiden Applets wird das Konzept Schritt für Schritt sehr gut erklärt.

Mit den folgenden Links kannst du die Applets auch in einem neuen Tab aufrufen, damit sie größer angezeigt werden:

https://ggbm.at/VHda22AX

https://ggbm.at/jCF4GjJX

Eine lineare Gleichung mit drei Unbekannten - die Koordinatenform einer Ebene

Eine Alternative zu der Parameterform ist die Koordinatenform. Die Koordinatenform bietet eine Variante zur Darstellung einer Ebene, die im ersten Zugang nicht so anschaulich wirkt. Sie bietet dafür aber insgesamt sehr viele Rechenvorteile.

Im folgenden wird zuerst ein Beispiel für eine Ebenengleichung in Koordinatenform dargestellt. Hier wird der Fokus zuerst nur auf die algebraische Perspektive gelegt. Erst später wird dann im nächsten Unterkapitel die allgemeine Ebenengleichung hergeleitet und vollständig erklärt.

Ein Beispiel für eine Ebenengleichung ist:

Beispiel:

Hier stehen die drei Buchstaben $x_{1}x\_1$, $x_{2}x\_2$ und $x_{3}x\_3$ für die drei Koordinaten eines Vektors. Wofür die drei Koeffizienten stehen, wird später im nächsten Teilkapitel erklärt. Auch warum diese Gleichung gerade eine Ebene im drei dimensionalen Raum beschreibt, wird erst im nächsten Teilkapitel erklärt. Hier soll die Ebenengleichung in einem ersten Schritt als eine lineare Gleichung mit drei Variablen betrachtet werden.

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen kennst du bereits aus der Mittelstufe. Dort taucht schon eine ganz ähnliche Gleichung wie die obige auf, die dir vertraut sein sollte. Denn eine Gerade kann beschrieben werden durch:

Der einzige Unterschied besteht nun noch darin, dass in der Ebenengleichung noch ein weiterer Summand auftritt. Ihn brauchst du, um vom zwei-Dimensionalen ins drei-Dimensionale zu gelangen.

Sowohl eine lineare Gleichung mit zwei Variablen wie $gg$ als auch eine lineare Gleichung mit drei Variablen wie $EE$ haben unendlich viele Lösungen. Alle Lösungen von $gg$ lassen sich als Punkte im zwei-dimensionalen Koordinatensystem visualisieren. Ebenso lassen sich alle Lösungen von $EE$ als Punkte im dreidimensionalen Raum visualisieren. Beide Gleichungen beschreiben deshalb einmal eine Gerde und einmal eine Ebene, weil alle Lösungen der jeweiligen Gleichung einmal auf einer Geraden und beim anderen Mal auf einer Ebene liegen. Bevor erklärt wird, warum die Lösungen der Gleichung $EE$ alle in einer Ebene liegen, sollst du noch lernen, wie solche Lösungen bestimmt werden können und wie überprüft werden kann, ob ein Zahlentriple eine Lösung ist oder nicht.

Auf genau die gleiche Weise kannst du auch Lösungen von $EE$ bestimmen: Für zwei Variablen kannst du willkürliche Zahlen festlegen und die Zahl für die dritte Variable kannst du dann einfach durch das Lösen der linearen Gleichung bestimmen.

Frage: Bestimme $aa$ in $P(4\mathrm{\mid }4\mathrm{\mid }a)P(4|4|a)$ so, dass $PP$ eine Lösung von $E:1\cdot x_1+2\cdot x_2+4\cdot x_3=4E:\; 1\backslash cdot\; x\_1+2\backslash cdot\; x\_2+4\backslash cdot\; x\_3=4$ ist.

Gucke dir nun die beiden Punkte $PP$ und $QQ$ mit $P(2\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }1)P(2|1|1)$ und $Q(2\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }0)Q(2|1|0)$. Wenn du die Koordinaten der beiden Punkte jeweils für die Variablen in der Ebenengleichung einsetzt, kanst du überprüfen, ob die Punkte in der Ebene liegen. Dieses Verfahren nennt man Punktprobe.Probier es einmal aus!

Im ersten Fall kommt eine unwahre Aussage heraus (8=4), der Punkt P liegt also nicht in der Ebene. Im zweiten Fall kommt dagegen eine wahre Aussage heraus (4=4), also liegt der Punkt in der Ebene.

Fazit:Insgeamt ist es so, dass alle Punkte, die diese Gleichung der Ebene erfüllen,tatsächlich in der Ebene $EE$ liegen. Die Ebene ensteht also durch unendliche viele Punkte, deren Koordinaten alle die Koordinatengleichung erfüllen.

Dieser Zusammenhang wird im folgenden Bild dargestellt: Du siehst drei rote Punkte. Diese Punkte sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Sie heißen Spurpunkte. Ihre Koordinaten sind: $X_1(4\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)X\_1(4|0|0)$, $X_2(0\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }0)X\_2(0|2|0)$ und $X_3(0\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }1)X\_3(0|0|1)$. Wie man sie berechnet, erfährst du im nächsten Absatz. Weiterhin siehst du sehr viele blaue Punkte. Jeder Punkt mit seinen drei Koordinaten ist eine Lösung der Ebenengleichung. Die Ebene ensteht also durch unendlich viele von diesen Punkten. Im Bild sind freilich 'nur' ca. 200 solcher Punkte eingezeichnet:

Du kannst dir also eine Ebene in der Koordinatenform gut vorstellen, als eine ebene Punktwolke, deren Punkte so dicht liegen, dass zwischen ihnen kein Platz mehr ist.

Spurpunkte - eine Ebene skizzieren:

Um die zu einer Koordinatengleichung einer Ebene zugehörige Ebene einfach zu visualisieren, nutzt man, genauso wie bei Geraden, ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Betrachten wir weiter unsere Ebene aus obigem Beispiel:

Die drei Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen haben offensichtlich folgende Gestalt:

Schnittpunkt mit $x_{1}x\_1$-Achse: $X_1(a\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)X\_1(a|0|0)$. Schnittpunkt mit $x_{2}x\_2$-Achse: $X_2(0\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }0)X\_2(0|b|0)$. Schnittpunkt mit $x_{3}x\_3$-Achse: $X_3(0\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }c)X\_3(0|0|c)$.

Setzen wir den ersten Punkt in die Ebenengleichung ein, so ergibt sich:

$X_1\text{in}E:1\cdot a-2\cdot 0-2\cdot 0=4X\_1\backslash ;\; \backslash text\{in\}\backslash ;\; E:\; 1\backslash cdot\; a-2\backslash cdot\; 0-2\backslash cdot\; 0=4$

Der Schnittpunkt mit der X-Achse ist also $X_1(4\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)X\_1(4|0|0)$

Die Schnittpunkte mit den anderen beiden Achsen ermittelt man analog und kommt zu den Ergebnissen:

Der Schnittpunkt mit der Y-Achse ist also $X_2(0\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }0)X\_2(0|2|0)$. Der Schnittpunkt mit der Z-Achse ist also $X_3(0\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }1)X\_3(0|0|1)$.

Anschließend zeichnet man diese drei Punkte nun in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem ein und verbindet sie:

Du siehst an dem Bild, dass z.B. der Punkt $P(5\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)P(5|0|0)$ nicht in der Ebene liegt. Dies bestätigt sich auch durch Einsetzen des Punktes in die Koordinatenform:

(unwahre Aussage)

Dagegen kannst du im Bild sehen, dass der Punkt $Q(2\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }0)Q(2|1|0)$ wahrscheinlich in der Ebene liegt. Auch dies bestätigt sich durch Einsetzen des Punktes in die Koordinatenform:

(wahre Aussage)

Die Ebene entsteht durch unendliche viele Punkte und jeder Punkt ist eine Lösung der Gleichung.

Wenn du willst, kannst du dir bei folgendem Applet aus dem Geogebra-Tupe noch einmal die Spurpunkte von Ebenen in einem drehbaren 3-dimensionalen Modell angucken. Mit den Schiebereglern kannst du die Koordinaten des Normalenvektors und die Zahl d verstellen:

https://www.geogebra.org/m/g9evE5bs

Herleitung der Koordinaten durch die Normalenform

Bisher wurde nur erklärt, das alle Punkte mit 3 Koordinaten, die jeweils eine Lösung einer Koordinatengleichung sind, in einer Ebene liegen. Nun wird eklärt, warum dies so ist.

Im Applet unten siehst du eine Ebene, die von einem Stützvektor angesteuert wird und in ihr liegen die beiden Richtungsvektoren. Der rote Vektor dagegen ist neu in der Darstellung. Er steht senkrecht auf der Ebene und heißt Normalenvektor. Dreh einmal das Applet und schau dir den beschriebenen Sachverhalt an.

Wichtig ist, dass ein Normalenvektor immer senkrecht auf einer Ebene steht. Ein Vektor, der nicht senkrecht auf einer Ebene steht, ist also auch kein Normalenvektor.

Im folgenden Applet ist ein Punkt A dargestellt, zu dem ein roter Stützvektor vom Ursprung aus führt. Weiterhin siehst du einen beliebigen Punkt X, den du auch verschieben kannst.

Die beiden schwarzen Pfeile zeigen dir anschaulich, wie die beiden dir bekannten Spannvektoren der Parameterdarstellung verlängert oder verkürzt werden müssen, um zu diesem Punkt X zu kommen. Jetzt geht es aber um den orangenen Vektor

. Offensichtich steht der im zweiten Applet grün eingezeichnete Normalenvektor senkrecht zum orangenen Vektor

. Du kannst den Punkt X in der Ebene an jede x-beliebige Stelle schieben und der orangene und gründe Vektor werden immer senkrecht zueinander stehen. Algebraisch bedeutet dies, dass ihr Skalarprodukt immer Null ist.

Stell dir vor, der Punkt X würde nicht mehr in der Ebene liegen, sondern ein Stückchen über oder unter ihr. Dann würde der orangene Vektor auch nicht mehr senkrecht zum grünen Vektor sein. Dann wäre ihr Skalarprodukt auch nicht mehr Null.

Nun geht es darum, den soeben beschriebenen Zusammenhang algebraisch zu formulieren, um die Koordinatenform einer Ebene herzuleiten.

Zuerst überlegen wir uns, wie der orangene Vektor berechnet werden kann. Er führt vom Punkt A, der Pfeilspitze des Stützvektors, zu einem x-beliebigem Punkt X in der Ebene. Er kann für jeden beliebigen Punkt berechnet werden durch:

. Oben hast du gesehen, dass der orangene Vektor zum grünen Normalenvektor senkrecht steht. Also gilt:

Diese Gleichung besagt: Das Skalarprodukt von Stützvektor mit einem Vektor, der zwischen einem Punkt A in der Ebene und irgendeinem beliegiem anderen Punkt in der Ebene geht, ist Null.

Um nun zu der Koordinatenform zu gelangen, müssen wir nur noch algebraische Umformungen vornehmen.

Zuerst wird das Distributivgesetz angewandt, um die Klammer aufzulösen:

Danach können wir den rechten Summanden auf die andere Seite der Gleichung bringen:

Nun multipliziert man beide Seiten der Gleichungen nach der Definition des Skalarproduktes aus:

Auf der linken Seite der Gleichung steht also das Skalarprodukt eines Vektor OX mit einem Normalenvektor n. OX ist ein Ortsvektor zu irgeneinem beliebigen Punkt in der Ebene, den wir nicht kennen. Der Normalenvektor n ist der senkrecht auf der Ebene stehende Vektor, dessen Koordinaten bekannt sein müssen.

Auf der rechten Seite der Gleichung steht das Skalarprodukte eines Vektors OA mit dem Normalenvektor n. Beide Vektoren müssen ebenfalls bekannt sein. Weil beide Vektoren bekannt ist, ist das Ergebnis dieses Skalarpoduktes eine Zahl, für die man auch einfach

schreiben kann:

Allgemeine Form einer Koordinatengleichung:

In dieser Form stehen die drei Buchstaben $n_1,n_2,n_{3}n\_1,\; n\_2,n\_3$ für die drei Koordinaten des Normalenvektors. Er ist in der Regel bekannt. Die drei Buchstaben $x_1,x_2,x_{3}x\_1,x\_2,x\_3$ stehen für die drei Koordinaten eines beliebigen und unbekannten Vektors. Der Buchstabe $dd$ auf der rechten Seite ist das Ergebnis des Skalarproduktes eines bekannten Stützvektors der Ebene mit dem Normalenvektor.

Schau dir noch einmal das obige Geogebra-Applet an. Dort ist grüne Normalenvektor n=(0,0,1). Der rote Stütz-Vektor OA hat die Koorinaten (1,1,1). Also ist eine Koordinatenform der Ebene:

also lautet die Ebenegleichung zu der Ebene im Applet:

Unter folgendem Link kannst du noch einmal testen, ob du die Herleitung verstanden hast, indem du die einzelnen Begründungsschritte in die richtige Reihenfolge bringst:

https://learningapps.org/display?v=pfna13ot518

Beispiel: Koordinatenform ermitteln

Im ersten Beispiel hatten wir folgenden Koordinatenform:

Die Ebene sieht so aus:

Ein Stützvektor der Ebene ist der Vektor OA mit (4,0,0). Der Normalenvektor der Ebene muss auf orthogonal auf der Ebene stehen, er muss als auch orthogonal zu beiden Spannvektoren sein. Als Spannvektoren können wir hier gut die Vektoren AC mit (-4;0,1) und BC mit (0,-2,1) wählen. Der Normalenvektor wird mit dem Vektorprodukt bestimmt und ist: n = (2,4,8).

Das Skalarprodukt von Stützvektor und Normalenvektor ist hier:

Also lautet eine Ebenengleichung:

Beide Ebenengleichungen unterscheiden sich nur um den Faktor 2. Offensichtlich gelten für die Koordinatenform die gleichen Rechengesetze wie für Gleichungen.

Eine Ebene in Koordinatenform hat also unendlich viele Darstellungsmöglichkeiten, die sich nur durch Äquivalenzumformungen unterscheiden.

Dies ist aber auch logisch, denn der Normalenvektor einer Ebene hat ja keine vorgegebene Länge. Der Normalenvektor von $E_{1}E\_1$ ist $n_1=(\mathrm{1,2},4)n\_1=(1\{,\}2,4)$ und der Normalenvektor von $E_{2}E\_2$ ist $n_2=(\mathrm{2,4},8)n\_2=(2\{,\}4,8)$. Da der eine Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors ist, unterscheiden sich beide Vektoren auch nur in der Länge! Auch der Vektor $n_3=(-4,-8,-16)n\_3=(-4,-8,-16)$ ist ein Normalenvektor der Ebene. Er ist nur dreimal so lang und zeigt in die andere Richtung. Mit ihm kann auch wieder eine Ebenengleichung für die gleiche Ebene aufgestellt werden. Dazu muss er skalar mit einem Stützvektor multipliziert werden. In der Darstellung oben ist zu sehen, dass auch $OB=(\mathrm{0,2},0)OB\; =(0\{,\}2,0)$ so ein Stützvektor ist. Also gilt:

Also ist eine dritte Gleichung der Ebene E:

Eine Koordinatenform aus einer Darstellung ermitteln

Im folgenden Video kannst du dir noch einmal angucken, wie in einfachen Fällen zu einer gegebenen Ebene in einem Koordinatensystem eine Koordinatenform aufgestellt werden kann:

Du kannst mit folgenden Links das Ermitteln einer Koordinatenform üben:

https://learningapps.org/watch?v=p026g1uzn18

https://learningapps.org/watch?v=purt9o92518

Besondere Lage von Ebenen im Koordinatensystem an ihrer Koordinatenform erkennen

Beispiel 1Betrachte folgendes Bild genau. Die x-Achse ist rot und zeigt nach links, die y-Achse ist grün.

Welche besondere Lage hat diese Ebene im Koordinatensystem?

Beachte: Alle drei schwarz eingezeichneten Vektoren sind Normalenvektoren der Ebene. Es ist egal, wo sie anfangen und es ist egal wie lang sie sind. Ein Normalenvektor ist lauf Definition ein Normalenvektor, wenn er orthogonal, also senkrecht, auf der Ebene steht. Kannst du ihre Koordinaten angeben?

Kannst du noch einen Stützvektor ablesen und die Koordinatenform der Ebene angeben?

Der dargestellte Gedankengang funktioniert auch andersherum. Wenn du weißt, dass die Ebene durch die Gleichung $E:x=4E:\; x=4$ beschrieben wird, weißt du, kannst du den Normalenvektor ablesen. Er lautet $n=(1\mathrm{/}0\mathrm{/}0)n=(1/0/0)$. Nun kannst du dir n vorstellen oder in eine Skizze einzeichnen. n liegt auf jeden Fall parallel zur x-Achse. Also steht die Ebene senkrecht zu dieser Achse. Also liegt die Ebene parallel zur y-z-Ebene.

Beispiel 2Betrachte diesmal zuerst die Ebenengleichung:

Diesmal fehlt nur eine Koordinate des Normalenvektors. Er lautet: $n=(0\mathrm{/}1\mathrm{/}1)n\; =\; (0/1/1)$. Berechne mal den Spurpunkt mit der x-Achse:

Was bedeutet das anschaulich? Eine Ebene, die keinen Spurpunkt mit einer Achse hat, muss zu dieser Achse parallel liegen.

Betrachte nun folgende Darstellung dieser Ebene im Applet genau:

Wieder ist die x-Achse rot und die y-Achse ist grün. Der Normalenvektor ist schwarz eingezeichnet. Der Normalenvektor $n=(0\mathrm{/}1\mathrm{/}1)n=(0/1/1)$ geht überhaupt nicht in Richtung der x-Achse. Da die Ebene senkrecht zum Normalenvekor steht, bedeutet dies, dass die Ebene aber die ganze Zeit in Richtung der x-Achse verläuft!

Also kann auch dieses besondere Lage der Ebene sofort an der Ebenengleichung erkannt werden.

Verallgemeinerung

Eine Ebene kann allgemein beschrieben werden durch:

Dabei hat der Normalenvektor die Koordinaten $n=(n_1\mathrm{/}{n}_2\mathrm{/}{n}_3)n=(n\_1/n\_2/n\_3)$. Diese Koordinaten nennt man auch Koeffizienten.

1. FALL: Sind zwei der drei Koeffizienten gleich Null,

1. FALL: Ist einer der drei Koeffizienten gleich Null,

Du kannst die besondere Lage von Ebenen gut mit folgender learningapp üben:

https://learningapps.org/display?v=pzbyyy85n16

Im Folgendem siehst du anhand eines Beispiels, wie du nun eine gegebene Parameterform in eine Koordinatenform umwandeln kannst.

Als Beispiel hier eine Ebene in Parameterform.

$E:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\mu \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)E:\backslash vec\{X\}=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 1\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}+\backslash lambda\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}+\backslash mu\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash 1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$

Die allgemeine Koordinatenform lautet:

Um sie aufzustellen, braucht man nur zwei Informationen:

1.) Einen Normalenvektor, der auf der Ebene senkrecht steht.2.) Eine Zahl d, die durch das Skalarprodukt aus Stützvektor und Normalenvektor berechnet wird.

Wenn wir diese Informationen beisammen haben, setzt man sie in die allgemeine Koordinatenform ein.

Nun die Bestimmung wieder mithilfe des Beispiels oben:

zu 1.) Den Normalenvektor kann man in solchen einfachen Fällen mit dem Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren berechnen:

zu 2.) Nun muss man noch $dd$ mit dem Skalarprodukt von Stützvektor und Normalenvektor berechnen. Der Stützvektor ist in diesem Fall schon gegeben und kann übernommen werden. Er hat die Punktkoordinaten: $A(\mathrm{2,1},0)A\; (2\{,\}1,0)$.

So, jetzt sind alle Informationen beisammen und man kann sie in die allgemeine Koordinatenform einsetzen:

fertig ;-)

Eine Seite zuvor hast du bereits gelernt wie man von der Parameterform in die Koordinatenform umgewandelt hat. Du hattest ein Gleichungssystem nach $\lambda \backslash lambda$und $\mu \backslash mu$ aufgelöst und so die Koordintenform erhalten.

Möchtest du nun also die Koordinatenform in die Parameterform umwandeln machstdie Umwandlung genau andersherum. Schau dir die Umwandlung anhand eines Beispieles der Ebene $EE$ an.

Du kannst zu zwei linear unabhängigen Vektoren immer einen eindeutigen Vektor finden, der senkrecht auf beiden steht. Diesen Vektor nennt man auch Normalenvektor $\vec{n}\backslash vec\{n\}$.

Nachdem du mit zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren immer eine Ebene aufspannen kannst, findest du also auch zu jeder Ebene einen Normalenvektor $\vec{n}\backslash vec\{n\}$ der senkrecht auf der Ebene steht.

Den Normalenvektor zu zwei Vektoren kann man direkt mit dem Kreuzprodukt bestimmen.Möchtest du zum Beispiel zu den Vektoren $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ und $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ den Normalenvektor $\vec{n}\backslash vec\{n\}$ ausrechnen, nimmst du $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ kreuz mal mit $\vec{b}\backslash vec\{b\}$und erhälst $\vec{n}\backslash vec\{n\}$:

$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{n}\backslash vec\{a\}\backslash times\; \backslash vec\{b\}=\backslash vec\{n\}$

Bisher konntest du eine Ebene mit Punkten, Geraden und Vektoren aufspannen, wenn diese in der Ebene liegen.

Die Normalform ist nun eine weitere Darstellungsform einer Ebene. Bei der Normalform spannt der Normalvektor $\vec{n}\backslash vec\{n\}$ und ein Aufpunkt $\vec{A}\backslash vec\{A\}$ die Ebene auf.

Die Ebenengleichung einer Ebene in Normalform hat folgende Darstellungsform:

Die Gleichung der Ebene in Normalform ist identisch zu der in der Koordinatenform, mit dem Unterschied, dass der Normalenvektor $\vec{n}\backslash vec\{n\}$ sozusagen ausgeklammert wurde.

Du weißt bereits, wenn du das Kreuzprodukt zweier linearer unabhängigerVektoren $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ und $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ bildest, erhälst du einen neuen Vektor $\vec{n}\backslash vec\{n\}$ der auf beiden Vektoren $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ und $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ senkrecht steht.

Hast du eine Ebene in Parameterform gegegben und möchtest diese in Normalform umwandeln, gehst du in folgenden Schritten vor:

• Ermittle den Aufpunkt der Ebene aus der Normalform

• Nachdem die beiden Richtungsvektoren der Parameterform die Ebenengleichung beschreiben, musst du das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ausrechnen und erhälst den Normalenvektor der Ebene.

• Setze den Aufpunkt und den Normalenektor in die allgemeine Normalenform $E:\vec{n}\circ (\vec{X}-\vec{A})=0E:\backslash vec\{n\}\backslash ;\backslash circ\backslash ;(\backslash vec\{X\}-\backslash vec\{A\})=0$ ein.

Beispiel:

Gebe die Normalform der Ebene $E:\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\mu \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)E:\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}+\backslash lambda\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}+\backslash mu\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash 1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$ an.

• Aufpunkt $\vec{A}\backslash vec\{A\}$ der Ebene ist: $\vec{A}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\{A\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$

• Berechne den Normalenvektor $\vec{n}\backslash vec\{n\}$ mit dem Kreuzprodukt: $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\{n\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}\backslash times\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash 1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$

• Setze den Aufpunkt und den Normalenvektor ind die Ebene ein:$E:\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\circ (\vec{X}-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right))E:\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ\backslash left(\backslash vec\{X\}-\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}\backslash right)$

Das Umwandeln von der Normalform zur Parameterform funktioniert funktioniert genauso wie bei der Koordinatenform zur Parameterform. Du musst nur zuerst die Normalform ausmultiplizieren und erhälst direkt die Koordinatenform.

Die Nomarlform und die Koordinatenform sind sicher sehr ähnlich. Der Unterschied der beide Darstellungsformen besteht darin, dass die Normaleform die "ausgeklammerte Form" der Koordinatenform ist.

Schaust du dir die allgemeine Gleichung der Normalform an und multiplizierst du den Normalenvektor mit der Klammer erhälst du folgende Gleichung:

Du kannst dir grundsätzlich merken, wenn du den Normalenvektor einer Ebene in Koordinatenform haben möchtest, kannst du diesen auslesen. Die Koordinaten des Normalenvektors $\vec{n}\backslash vec\{n\}$ entsprechen den Einträgen vor $x_{1}x\_1$, $x_{2}x\_2$ und $x_{2}x\_2$, also

Nachdem die Koordinatenform und die Normlaform sich sehr ähnlich sind, geht die Umwandlung von der Koordinatenform zur Normalform sehr schnell.

Ziel ist es am Ende eine Ebenengleichung der Form $E:\vec{n}\circ (\vec{X}-\vec{A})E:\backslash vec\{n\}\backslash circ(\backslash vec\{X\}-\backslash vec\{A\})$ zu haben.

Schaue dir die Umwandlung anhand der Beispiel Ebene $EE$ an:

Die Normalenform lautet also:

$E:\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 1\end{array}\right)\circ (\vec{X}-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 12\end{array}\right))E:\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash -5\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ(\backslash vec\{X\}-\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 12\backslash end\{pmatrix\})$

Nun kannst du du eine Ebene in alle Formen umwandeln. Die Parameterform ermöglicht dir eine relativ leichte Vorstellung wie die Ebene im Raum liegt, da du dir die beiden Richtungsvektoren vorstellen kannst.

Die Koordinatenform und die Normalform bieten dir eine anschauliche und leichte Darstellung das bedeutet für dich, du kannst mit diesen beiden Formen besonders gut rechnen. Möchtest du zum Beispiel überprüfen ob ein Punkt in der Ebene liegt, kannst du ihn hier direkt einsetzen und schauen ob die Gleichung erfüllt ist.Den Normalenvektor kannst du sowohl bei der Normalenform als auch bei der Koordinatenform direkt auslesen.

Du kannst dir also grob merken:

Möchtest du eine Ebene zeichnen, verwendest du am besten die Parameterform. Möchtest du mit der Ebene rechnen, verwendest du die Normalenform beziehungsweise die Koordinatenform.

Inhalt folgt!