Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ -4\end{array}\right)$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{n}}\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm{n}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{a}}$  ein.

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ -4\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 2\end{array}\right)$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{n}}\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}]=0$

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 2\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 2\end{array}\right)$

Wähle den Punkt Koordinatenursprung als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{n}}\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{0}]=0$

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 2\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)]=0$

$\iff \mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{n}}\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm{n}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{a}}$  ein.

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -4\end{array}\right)$

Klammere  $\frac{1}{4}$  aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{n}}\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm{n}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{a}}$  ein.

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

(Hinweis: Die Ebene ist parallel zur  ${\mathrm{x}}_1{\mathrm{x}}_3-\mathrm{Ebene}$)

Klammere  $-7$  aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{n}}\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm{n}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{a}}$  ein.

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als

Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}15\\ 10\\ 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-500\\ 550\\ 100\end{array}\right)$

Klammere  $50$  aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}-10\\ 11\\ 2\end{array}\right)$

Alternative: Meistens ist es einfacher, zuerst die

Richtungsvektoren der Ebene zu vereinfachen

und dann erst das Kreuzprodukt zu berechnen.

Klammere im ersten Richtungsvektor  $10$  und im zweiten Richtungsvektor  $5$  aus.

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-10\\ 11\\ 2\end{array}\right)$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 0\end{array}\right)$

als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{n}}\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm{n}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{a}}$  ein.

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}-10\\ 11\\ 2\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 0\end{array}\right)]=0$