Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-1\\-4\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm n}$  und  $\overrightarrow{\mathrm a}$  ein.

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}6\\-1\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0$

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt Koordinatenursprung als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow0\right]=0$

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right]=0$

$\Leftrightarrow\;\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm n}$  und  $\overrightarrow{\mathrm a}$  ein.

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}$

Klammere  $\frac14$  aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$ als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm n}$  und  $\overrightarrow{\mathrm a}$  ein.

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

(Hinweis: Die Ebene ist parallel zur  ${\mathrm x}_1{\mathrm x}_3-\mathrm{Ebene}$)

Klammere  $-7$  aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm n}$  und  $\overrightarrow{\mathrm a}$  ein.

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als

Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}-20\\-20\\10\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}15\\10\\20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-500\\550\\100\end{pmatrix}$

Klammere  $50$  aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}-10\\11\\2\end{pmatrix}$

Alternative: Meistens ist es einfacher, zuerst die

Richtungsvektoren der Ebene zu vereinfachen

und dann erst das Kreuzprodukt zu berechnen.

Klammere im ersten Richtungsvektor  $10$  und im zweiten Richtungsvektor  $5$  aus.

$\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10\\11\\2\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}$

als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm n}$  und  $\overrightarrow{\mathrm a}$  ein.

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-10\\11\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}\right]=0$