Aufgaben zur Umwandlung der Ebenendarstellung

1

Wandle die folgenden Ebenen von Parameterform in Normalenform um.

  1. E:  x=(103)+λ(122)+μ(121)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}

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  2. E:  x=(012)+λ(321)+μ(102)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}

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  3. E:  x=λ(103)+μ(120)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}

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  4. E:  x=(111)+λ(012)+μ(120)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}

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  5. E:  x=(312)+λ(121)+μ(121)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}

  6. E:  x=(222)+λ(301)+μ(102)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}

  7. E:  x=(40800)+λ(202010)+μ(151020)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-20\\-20\\10\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}15\\10\\20\end{pmatrix}

2

Wandle die folgenden Ebenen von Normalenform in Koordinatenform um.

  1. E:  (614)[(x1x2x3)(103)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}6\\-1\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\right]=0

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  2. E:  (472)[(x1x2x3)(012)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0

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  3. E:  (632)(x1x2x3)=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}=0

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  4. E:  (421)[(x1x2x3)(111)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\right]=0

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  5. E:  (101)[(x1x2x3)(312)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0

  6. E:  (010)[(x1x2x3)(222)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\right]=0

  7. E:  (500550100)[(x1x2x3)(40800)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-500\\550\\100\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}\right]=0

3

Wandle die folgenden Ebenen von Koordinatenform in Parameterform um.

  1. E:  2x1x2+3x35=0\mathrm E:\;2{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+3{\mathrm x}_3-5=0

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  2. E:  x1+2x2+4x3=0\mathrm E:\;-{\mathrm x}_1+2{\mathrm x}_2+4{\mathrm x}_3=0

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  3. E:  3x1+4x35=0\mathrm E:\;3{\mathrm x}_1+4{\mathrm x}_3-5=0

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  4. E:  2x1+3x21=0\mathrm E:\;2{\mathrm x}_1+3{\mathrm x}_2-1=0

  5. E:  2x23=0\mathrm E:\;2{\mathrm x}_2-3=0

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